四元数：旋转的组合。参考坐标系的变换。

四元数是一种用来表示空间旋转的数学工具。它可以方便地组合多个旋转操作，并且在旋转过程中不会出现万向节锁现象。

以下是一个示例代码，展示了如何使用四元数来表示和组合旋转操作，并进行坐标系的变换。

import numpy as np

# 定义四元数类
class Quaternion:
    def __init__(self, w, x, y, z):
        self.w = w
        self.x = x
        self.y = y
        self.z = z

    # 四元数乘法
    def __mul__(self, other):
        w = self.w * other.w - self.x * other.x - self.y * other.y - self.z * other.z
        x = self.w * other.x + self.x * other.w + self.y * other.z - self.z * other.y
        y = self.w * other.y - self.x * other.z + self.y * other.w + self.z * other.x
        z = self.w * other.z + self.x * other.y - self.y * other.x + self.z * other.w
        return Quaternion(w, x, y, z)

    # 将四元数转换为旋转矩阵
    def to_rotation_matrix(self):
        r = np.zeros((3, 3))
        r[0, 0] = 1 - 2 * (self.y**2 + self.z**2)
        r[0, 1] = 2 * (self.x * self.y - self.w * self.z)
        r[0, 2] = 2 * (self.x * self.z + self.w * self.y)
        r[1, 0] = 2 * (self.x * self.y + self.w * self.z)
        r[1, 1] = 1 - 2 * (self.x**2 + self.z**2)
        r[1, 2] = 2 * (self.y * self.z - self.w * self.x)
        r[2, 0] = 2 * (self.x * self.z - self.w * self.y)
        r[2, 1] = 2 * (self.y * self.z + self.w * self.x)
        r[2, 2] = 1 - 2 * (self.x**2 + self.y**2)
        return r

# 定义旋转操作
def rotate(angle, axis):
    w = np.cos(angle / 2)
    x = axis[0] * np.sin(angle / 2)
    y = axis[1] * np.sin(angle / 2)
    z = axis[2] * np.sin(angle / 2)
    return Quaternion(w, x, y, z)

# 定义坐标系变换
def transform_coordinates(rotation, translation, point):
    rotation_matrix = rotation.to_rotation_matrix()
    transformed_point = np.dot(rotation_matrix, point) + translation
    return transformed_point

# 示例代码
# 定义旋转操作
rotation_1 = rotate(np.pi / 2, [0, 0, 1])  # 绕Z轴旋转90度
rotation_2 = rotate(np.pi / 4, [1, 0, 0])  # 绕X轴旋转45度

# 定义坐标系变换
translation = np.array([1, 2, 3])  # 平移向量
point = np.array([1, 0, 0])  # 坐标点

# 进行旋转和坐标系变换
transformed_point = transform_coordinates(rotation_1 * rotation_2, translation, point)

print(transformed_point)

在上述示例代码中，我们定义了一个Quaternion类来表示四元数，包含四元数的乘法和将四元数转换为旋转矩阵的方法。然后，我们定义了一个rotate函数来创建旋转操作的四元数。最后，我们定义了一个transform_coordinates函数来进行坐标系的变换，该函数接受旋转操作、平移向量和坐标点作为输入，并返回变换后的坐标点。

示例代码中的主要步骤是： 1