计算截断Hessenberg分解

使用Householder变换和Givens旋转的方法可以计算出一个截断Hessenberg分解。 Householder变换通过将一个向量投影到另一个向量上，消除一个矩阵中的元素。Givens旋转创建一个正交矩阵，可以在不改变矩阵的其他部分的情况下将非对角线元素归零。截断Hessenberg分解将矩阵分解为一个上Hessenberg矩阵和一个小的下三角矩阵，并且仅保留了前k个特征值。以下是一个示例Python代码，演示如何计算截断Hessenberg分解：

import numpy as np

def hessenberg_decomposition(A, k):
    n = A.shape[0]
    H = A.copy() # Hessenberg matrix
    Q = np.eye(n) # Orthogonal matrix that reduces H to Hessenberg form

    for i in range(n-2):
        # Householder transformation
        u = H[i+1:, i].copy()
        u[0] += np.sign(u[0]) * np.linalg.norm(u)
        u /= np.linalg.norm(u)
        H[i+1:, i:] -= 2 * np.outer(u, np.dot(u, H[i+1:, i:]))
        H[:, i+1:] -= 2 * np.outer(np.dot(H[:, i+1:], u), u)

        if i < n-k-1:
            # Givens rotation
            for j in range(i+1, n):
                if abs(H[j, i]) > 0:
                    c = H[i, i] / np.sqrt(H[i, i]**2 + H[j, i]**2)
                    s = H[j, i] / np.sqrt(H[i, i]**2 + H[j, i]**2)
                    H[[i, j], i:] = np.array([[c, s], [-s, c]]).dot(H[[i, j], i:])
                    Q[:, [i, j]] = Q[:, [i, j]].dot(np.array([[c, s], [-s, c]]).T)
    
    return Q.T, H[:n-k, :n-k]

# Example Usage
A = np.array([[1, 4, 1], [-2, -3, 1], [6, 2, 1]])
Q, H = hessenberg_decomposition(A, 1)
print("Q:\n", Q)
print("H:\n", H)

该代码将矩阵A分解为QHQT的形式，其中Q是正交矩阵，H是上Hessenberg矩阵。截断Hessenberg分解结果由H[:n-k, :n-k]给出。在此示例中，我们计算了一个截断Hessenberg分解，仅保留矩阵A的一个特征值。