正式证明 n^n 是 Ω(n!)

要证明 n^n 是 Ω(n!)，我们可以使用数学归纳法。

首先，我们需要证明基本情况，即 n = 1 时，n^n 是否是 Ω(n!)。当 n = 1 时，n^n = 1，n! = 1，所以 n^n 是 Ω(n!)。

然后，我们假设对于某个 k，当 n = k 时，n^n 是 Ω(n!)，即存在一个常数 c1 和一个正整数 n0，使得对于所有的 n ≥ n0，有 n^n ≥ c1 * n!。

接下来，我们需要证明当 n = k+1 时，n^n 也是 Ω(n!)。换句话说，我们需要找到一个常数 c2 和一个正整数 n1，使得对于所有的 n ≥ n1，有 n^n ≥ c2 * n!。

我们可以通过展开 n^n 和 n! 的定义来进行证明。

n^n = (k+1)^(k+1) = (k+1) * (k+1) * (k+1) * ... * (k+1) ≥ (k+1) * k * (k-1) * ... * 1 * (k+1) = (k+1)! * (k+1)

因此，当 n = k+1 时，n^n ≥ (k+1)! * (k+1)。

我们可以取 c2 = k+1，n1 = n0 + 1。这样，对于所有的 n ≥ n1，有 n^n ≥ c2 * n! 成立。

综上所述，根据数学归纳法，我们可以证明 n^n 是 Ω(n!)。

以下是一个示例代码，用来说明当 n ≥ 2 时，n^n >= c * n! 的情况：

import math

def is_omega(n):
    for i in range(2, n+1):
        if math.pow(i, i) < math.factorial(i):
            return False
    return True

n = 5
result = is_omega(n)
print(f"{n}^n is Ω({n}!): {result}")

这个代码中，我们定义了一个函数 is_omega，它接受一个正整数 n 作为参数。函数使用循环从 2 到 n，比较 n^n 和 n! 的大小关系。如果存在一个 i，使得 n^n < n!，则返回 False，否则返回 True。

在示例中，我们调用 is_omega 函数来检查 n = 5 时，n^n 是否是 Ω(n!)。最后，我们打印结果。

输出结果为 "5^n is Ω(5!): True"，说明 n^n 是 Ω(n!)。