数据库连接错误后，用户“DOMAIN\ServerName$”的登录失败。

在处理数据库连接错误时，出现"用户'DOMAIN\ServerName$'的登录失败"的错误消息，这通常是由于以下原因之一造成的：

1. 未授权登录：数据库服务器未正确配置允许用户'DOMAIN\ServerName$'进行登录。在这种情况下，可以通过以下代码示例解决该问题：

using System;
using System.Data.SqlClient;

class Program
{
    static void Main()
    {
        string connectionString = "YourConnectionString";
        string serverName = "YourServerName";
        string domainName = "YourDomainName";

        string userName = $"{domainName}\\{serverName}$";

        try
        {
            using (SqlConnection connection = new SqlConnection(connectionString))
            {
                connection.Open();
                Console.WriteLine("数据库连接成功");
            }
        }
        catch (SqlException ex)
        {
            if (ex.Number == 18456) // 登录失败错误号
            {
                // 授权用户登录
                GrantLoginAccess(connectionString, userName);
                Console.WriteLine("已授权用户登录");
            }
            else
            {
                Console.WriteLine("数据库连接错误：" + ex.Message);
            }
        }
    }

    static void GrantLoginAccess(string connectionString, string userName)
    {
        using (SqlConnection connection = new SqlConnection(connectionString))
        {
            connection.Open();

            using (SqlCommand command = new SqlCommand($"CREATE LOGIN [{userName}] FROM WINDOWS;", connection))
            {
                command.ExecuteNonQuery();
            }
        }
    }
}

请确保按照实际情况修改connectionString，serverName和domainName的值。

2. 无法解析用户名：在某些情况下，可能会出现无法解析用户'DOMAIN\ServerName$'的情况。这可能是由于域或服务器名称更改引起的。在这种情况下，可以尝试使用最新的域或服务器名称进行登录。

以上示例代码仅提供了一种处理数据库连接错误的解决方法，具体解决方法需要根据实际情况进行调整和修改。