ComputingatruncatedHessenbergdecomposition

计算截断的Hessenberg分解方法

Hessenberg分解是将一个矩阵A拆分为三个矩阵H、Q、P的乘积，满足H是上Hessenberg矩阵，Q和P是正交矩阵。可以通过Hessenberg分解对矩阵进行简化和求解特征值等操作。

计算截断的Hessenberg分解方法，是在Hessenberg分解计算的基础上，加入了一个trunc参数，用于控制分解的终止位置。截断的Hessenberg分解可以快速计算部分特征值。

代码示例：

下面是使用Python实现的计算截断的Hessenberg分解方法的代码示例：

import numpy as np

def hessenberg(A):
    n = A.shape[0]
    H = A.copy()
    Q = np.eye(n)

    for k in range(n-2):
        x = H[k+1:, k]
        v = np.zeros_like(x)
        v[0] = np.sign(x[0]) * np.linalg.norm(x)
        v[1:] = x[1:]
        v = v / np.linalg.norm(v)

        H[k+1:, k:] -= 2 * np.outer(v, np.dot(v, H[k+1:, k:]))
        H[:, k+1:] -= 2 * np.outer(np.dot(H[:, k+1:], v), v)

        Q[k+1:] -= 2 * np.outer(np.dot(Q[k+1:], v), v)

    return H, Q.T

def truncated_hessenberg(A, tol=1e-8, kmax=None):
    if kmax is None:
        kmax = A.shape[0]

    H, Q = hessenberg(A)

    for k in range(kmax):
        if np.abs(H[-1, -2]) < tol:
            break

        Qk, Hk = np.eye(k+1), H[:k+1, :k+1]
        x = H[k+1:,:k+1].T
        v = np.zeros_like(x)
        v[0] = np.sign(x[0,0]) * np.linalg.norm(x)
        v[1:] = x[1:]
        v = v / np.linalg.norm(v)

        Qk[k:,k:] -= 2 * np.outer(v, np.dot(v, Qk[k:,k:]))
        Hk[k:,k:]  -= 2 * np.outer(np.dot(Hk[k:,k:], v), v)

        Q = np.dot(Q, Qk.T)
        H[:k+1,:k+1] = Hk

    return H[:k+1,:k+1], Q[:k+1,:]

其中，hessenberg函数用于计算输入矩阵的Hessenberg分解结果，truncated_hessenberg函数则完成了基于Hessenberg分解的截断方法。