克兰克-尼科尔森法在Python中的波函数求解

克兰克-尼科尔森法是一种用于数值求解薛定谔方程的方法，它基于时间分裂技术，将时间演化算符分解为多个小步骤来逼近波函数的时间演化。

下面是一个用Python实现克兰克-尼科尔森法求解薛定谔方程的示例代码：

import numpy as np

def potential(x):
    # 定义势能函数
    return 0.5 * x**2

def initial_wavefunction(x):
    # 定义初始波函数
    return np.exp(-0.5 * x**2)

def crank_nicolson(potential, initial_wavefunction, x, t, dt):
    # 定义克兰克-尼科尔森法的函数
    dx = x[1] - x[0]
    psi = initial_wavefunction(x)
    psi_new = psi.copy()
    V = potential(x)
    for i in range(len(t)):
        psi_half = psi.copy()
        for j in range(1, len(x)-1):
            psi_half[j] = psi[j] - 0.5j * dt / dx**2 * (psi[j+1] - 2*psi[j] + psi[j-1]) + 0.5j * dt * V[j] * psi[j]
        for j in range(1, len(x)-1):
            psi_new[j] = psi[j] - 0.5j * dt / dx**2 * (psi_half[j+1] - 2*psi_half[j] + psi_half[j-1]) + 0.5j * dt * V[j] * psi_half[j]
        psi = psi_new.copy()
    return psi

# 设置计算参数
x_min = -10
x_max = 10
t_min = 0
t_max = 1
dx = 0.1
dt = 0.01

# 创建空间网格
x = np.arange(x_min, x_max, dx)
t = np.arange(t_min, t_max, dt)

# 求解波函数
psi = crank_nicolson(potential, initial_wavefunction, x, t, dt)

# 输出结果
print(psi)

在上述代码中，我们首先定义了势能函数potential(x)和初始波函数initial_wavefunction(x)，然后定义了克兰克-尼科尔森法的函数crank_nicolson(potential, initial_wavefunction, x, t, dt)。

在主程序中，我们设置了计算参数（空间和时间范围以及步长），然后创建了空间网格x和时间网格t。最后，调用crank_nicolson函数求解波函数，并输出结果。

注意：在实际应用中，由于波函数的维度较高，可能需要使用更高效的数据结构（如稀疏矩阵）来存储波函数以提高计算性能。