矩阵行列式的时间与空间复杂度

矩阵行列式的计算需要较高的时间和空间复杂度，但有以下方法优化：

1. 采用高斯消元法进行行变换，可以将矩阵转化为上三角矩阵，计算行列式时只需按对角线乘积计算即可，时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(1)。

以下是高斯消元法计算矩阵行列式的Python代码示例：

def det(matrix):
    n = len(matrix)
    sign = 1
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            while matrix[j][i] != 0:
                t = matrix[i][i] // matrix[j][i]
                for k in range(i, n):
                    matrix[i][k] -= t * matrix[j][k]
                    matrix[i][i], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][i]
                sign *= -1
        det = 1
        for i in range(n):
            det *= matrix[i][i]
        return det * sign

2. 利用LUP分解，将矩阵分解为一个单位下三角矩阵（L）、一个单位上三角矩阵（U）与一个置换矩阵（P）的乘积，计算行列式时可以通过LU矩阵的对角线乘积与置换矩阵的奇偶性相乘得出，时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。

以下是利用LUP分解计算矩阵行列式的Python代码示例：

import numpy as np

def det(matrix):
    n = len(matrix)
    P, L, U = np.linalg.lu(matrix)
    sign = 1
    for i in range(n):
        sign *= np.sign(P[i,i] - 1)
    return sign * np.prod(np.diag(U))

以上是两种较为常用的优化方法，可以在计算矩阵行列式时提高运算效率。