集合划分问题的NP完备性证明

集合划分问题（Partition Problem）是一个NP完备问题，即没有已知的多项式时间算法可以解决该问题。下面是一个利用回溯法（backtracking）解决集合划分问题的示例代码。

def partition(nums):
    total_sum = sum(nums)
    if total_sum % 2 != 0:  # 如果总和为奇数，则无法划分成两个相等的子集
        return False
    
    target_sum = total_sum // 2  # 每个子集的目标和

    def backtrack(curr_sum, start):
        if curr_sum == target_sum:  # 如果当前和等于目标和，则找到了一个解
            return True
        if curr_sum > target_sum:  # 如果当前和大于目标和，则不可能找到解
            return False
        
        for i in range(start, len(nums)):
            if nums[i] == 0:  # 该元素已被使用过
                continue
            curr_sum += nums[i]
            nums[i] = 0  # 标记该元素已被使用
            if backtrack(curr_sum, i + 1):  # 递归搜索下一个元素
                return True
            curr_sum -= nums[i]  # 回溯，恢复当前和和状态
            nums[i] = nums[i]  # 回溯，恢复元素的使用状态
        
        return False

    return backtrack(0, 0)

# 测试
nums = [1, 5, 11, 5]
print(partition(nums))

以上代码定义了一个partition函数，它接受一个整数列表nums作为输入，并返回一个布尔值。如果可以将nums划分成两个和相等的子集，则返回True，否则返回False。

在回溯函数backtrack中，我们使用一个循环遍历nums中的每个元素。对于每个元素，我们尝试将其加入当前子集中，并递归搜索下一个元素。如果找到一个解，则返回True，否则回溯，将当前元素从子集中移除。

在主函数partition中，我们首先计算nums的总和，如果总和为奇数，则无法划分成两个相等的子集，直接返回False。然后，我们将总和除以2得到每个子集的目标和，并调用backtrack函数开始回溯搜索。

以上代码可以解决集合划分问题，但由于其复杂度为指数级别，对于大规模的输入可能效率较低。如果需要解决更大规模的集合划分问题，可以考虑其他更高效的算法，如动态规划或近似算法。