我最近在做一些分布相关的习题时遇到了不少疑问，下面是我碰到的具体问题和自己的推导过程，希望能得到大家的指点：

问题1：计算$\mathcal{F}D^{kT$的傅里叶变换（$D}k$是分布$T$的$k$阶导数） #

我的推导步骤如下：

设$\phi(x)\in S(\mathbb{R})$，$\hat\phi(y)$是它的傅里叶变换：

$$
\begin{align}
(\mathcal{F}D^kT)[\phi] &=(D^kT)_{\mathcal{F}}[\phi]\
&=(-1)^{kT_{\mathcal{F}}\left[\left(\frac{d}{dx}\right)}k\phi\right]\
&=(-1)^{kT\left[\mathcal{F}\left(\frac{d}{dx}\right)}k\phi\right]
\end{align}
$$

接着利用傅里叶变换的性质$\mathcal{F}[(d/dx) f] = -iy\mathcal{F}[f]$，我继续推导：

$$
\begin{align}
(-1)^{kT\left[\mathcal{F}\left(\frac{d}{dx}\right)}k\phi\right] &= (-1)^{kT\left[(-iy)}k\mathcal{F}[\phi]\right]\
&= (iy)^{kT[\mathcal{F}[\phi]]=(iy)}k\mathcal{F}[T][\phi]
\end{align}
$$

但正确答案是$(-iy)^k\mathcal{F}[T]$（$i$前面带有负号），请问我的推导哪里出错了？

问题2：计算$D^{k\mathcal{F}[T]$的傅里叶变换（$D}k$是$k$阶导数） #

我的计算过程如下：

$$
\begin{align}
(D^{k\mathcal{F}[T])[\phi]&=D}k(\mathcal{F}[T])[\phi]\
&=(-1)^{k(\mathcal{F}[T])\left[\left(\frac{d}{dx}\right)}k\phi\right]\
&=(-1)^{kT\left[\mathcal{F}\left(\frac{d}{dx}\right)}k\phi\right]
\end{align}
$$

和之前一样，我使用了傅里叶变换内导数的性质：

$$
\begin{align}
(-1)^{kT\left[\mathcal{F}\left(\frac{d}{dx}\right)}k\phi\right]&=(-1)^{kT\left[(-iy)}k\mathcal{F}[\phi]\right]\
&=(iy)^{kT\left[\mathcal{F}[\phi]\right]=\mathcal{F}[(iy)}kT][\phi]
\end{align}
$$

我对最后一步的等式不太确定：我假设$T_1 = ((iy)^kT)$，然后认为$T_1[\mathcal{F}[\phi]] = \mathcal{F}[T_1][\phi]$，这个结论成立吗？

其他概念疑问 #

除了上面的推导问题，还有几个概念点我不太清楚：

• 当我要计算$(FD^{kT)$作用在一个函数上时，应该写成$(FD}kT)[\phi]$还是$FD^k(T[\phi])$？正确的计算顺序是什么？
• 等式$(FD^kT)=F(DkT)=(-iy)^kF(T)$是否成立？

非常感谢大家的任何回复，另外如果我的英文表达有语法错误也请帮忙纠正，我不是英语母语者：）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者alberto mazzarotto