这是个很经典的组合数学小问题，咱们一步步拆解来完成证明：

首先明确锦标赛的基本规则：10名选手进行单循环赛，每个选手都要和其余9名选手各赛一场。所以对任意选手i（i从1到10），他的获胜场次w(i)加上失利场次l(i)必然等于9，也就是：
w(i) + l(i) = 9 （对所有1≤i≤10成立）

我们的目标是证明：w(1)² + w(2)² + ... + w(10)² = l(1)² + l(2)² + ... + l(10)²

为了简化证明，我们可以先计算两边的差值，只要证明这个差值为0即可：
(w(1)² + ... + w(10)²) - (l(1)² + ... + l(10)²) = Σ(w(i)² - l(i)²)（其中Σ代表从i=1到10求和）

接下来利用平方差公式a² - b² = (a-b)(a+b)，把上面的式子展开：
Σ(w(i)² - l(i)²) = Σ[(w(i)-l(i))(w(i)+l(i))]

因为我们已经知道w(i)+l(i)=9，这是个常数，所以可以把它从求和式中提出来：
= 9 * Σ(w(i)-l(i))

现在问题转化为证明Σ(w(i)-l(i)) = 0，也就是Σw(i) = Σl(i)。这一步其实非常直观：在整个锦标赛中，每一场比赛都会产生1个胜场和1个负场，所有选手的总获胜场次必然等于总失利场次——每一场的胜场和负场是一一对应的，总数量完全相等。

既然Σw(i) = Σl(i)，那Σ(w(i)-l(i)) = 0，代入回之前的式子就得到：
(w(1)² + ... + w(10)²) - (l(1)² + ... + l(10)²) = 9 * 0 = 0

由此直接推出我们要证明的结论：w(1)² + w(2)² + ... + w(10)² = l(1)² + l(2)² + ... + l(10)²

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Laksh Sharma