答案是否定的，我们可以构造一个直观的反例来证明这一点，完全符合你提到的“T本身不是压缩，但Tⁿ是压缩，而更高次迭代Tᵐ（m>n）不是压缩”的场景。

构造反例 #

首先定义度量空间：取 ( M = [0, 1] \cup [10, 11] )，使用常规的欧氏距离作为度量（如果需要不完备的空间，把闭区间改成开区间 ( (0,1) \cup (10,11) ) 即可）。

然后定义自映射 ( T: M \to M )：

• 对于 ( x \in [0, 1] )，令 ( T(x) = 10 + x )（把左区间的点全部映射到右区间）
• 对于 ( x \in [10, 11] )，令 ( T(x) = \frac{x - 10}{2} )（把右区间的点收缩映射到左区间的子段 ( [0, 0.5] )）

验证各条件 #

1. T本身不是压缩映射
   取 ( x=1 )（属于左区间）和 ( y=10 )（属于右区间），两者的距离 ( d(x,y)=10-1=9 )，而 ( d(T(x),T(y))=d(11,0)=11 )，显然 ( 11 > 9 )，不满足压缩映射“距离收缩”的要求。

2. T²是压缩映射
   我们分三种情况验证：

• 若 ( x,y \in [0,1] )：( T^2(x)=T(10+x)=\frac{(10+x)-10}{2}=\frac{x}{2} )，因此 ( d(T^2(x),T2(y))=\frac{1}{2}d(x,y) )
• 若 ( x,y \in [10,11] )：( T^2(x)=T\left(\frac{x-10}{2}\right)=10+\frac{x-10}{2}=\frac{x+10}{2} )，因此 ( d(T^2(x),T2(y))=\frac{1}{2}d(x,y) )
• 若 ( x \in [0,1] )，( y \in [10,11] )：( d(T^2(x),T2(y))=\left|\frac{x}{2}-\frac{y+10}{2}\right|=\frac{|x-y-10|}{2} )。此时 ( d(x,y)=y-x \geq 9 )，而 ( |x-y-10|=y+x-10 \leq 2 )，显然 ( \frac{2}{2}=1 \leq \frac{1}{2} \times 9 )，满足收缩条件。

综上，( T^2 ) 是压缩常数为 ( \frac{1}{2} ) 的压缩映射。

3. T³不是压缩映射
   取 ( x=0 )（左区间）和 ( y=10 )（右区间），两者距离 ( d(x,y)=10 )。
   计算得：( T^3(x)=T(T2(x))=T(0)=10 )，( T^3(y)=T(T2(y))=T(10)=0 )，因此 ( d(T^3(x),T3(y))=d(10,0)=10 )。

对于任意小于1的常数 ( c )，都有 ( 10 > 10c )，这说明不存在满足要求的压缩常数 ( c \in (0,1) )，因此 ( T^3 ) 不是压缩映射。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者William Wang