各位大佬好，我在做这道多元函数练习题的时候遇到了不少困惑，想请大家帮忙梳理一下：

我的问题有两个：

• 是否存在实数$L \in\mathbb{R}$，使得$f(x, y)$在点$(-1, 0)$处连续？
• 对于所有的$L$值，$f'_x(-1, 0)$和$f'_y(-1, 0)$这两个偏导数中哪些是存在的？为什么？

函数$f(x,y)$的定义如下：
$$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{x^2+x}{x2-y^2-1}, & x^2 - y^2 \neq 1 \\ L, & x^2-y2 = 1\end{cases}$$

我的尝试过程 #

关于连续性的分析

一开始我觉得判断连续性应该让两个方向的累次极限相等且有限，于是计算了：
$$\lim_{x\to -1} \left(\lim_{y \to 0} \dfrac{x^2+x}{x2-y^2-1}\right) = \frac{1}{2}$$
而另一个方向的累次极限：
$$\lim_{y\to 0}\left(\lim_{x\to -1} \dfrac{x^2+x}{x2-y^2-1}\right) = 0$$
这两个累次极限不相等，我现在有点搞不懂，到底是不是存在某个$L$能让函数在$(-1,0)$处连续？

关于偏导数的分析

我想着用偏导数的定义（差商极限）来计算，但计算过程中$L$一直留在表达式里，让我拿不准：

首先计算$f'_x(-1, 0)$：
$$f'x(-1, 0) = \lim{h\to 0} \frac{\frac{(-1+h)^2 - (-1+h)}{(-1+h)^2 - 1} - L}{h}$$
我化简后得到：
$$f'x(-1, 0) = \lim{h\to 0} \frac{1}{h}\left(1 - \frac{1}{h} - L\right)$$
看起来这个极限是无穷大，所以我觉得$f'_x(-1, 0)$不存在。

然后计算$f'_y(-1, 0)$：
$$f'y(-1, 0) = \lim{h\to 0} \frac{\frac{-1+1}{1-h-1} - L}{h}$$
化简后我发现这个极限也是无穷大，所以觉得这个偏导数也不存在，但不确定自己的计算是不是哪里出错了，毕竟$L$还在里面，会不会有特殊情况？

另外，老师要求我不能用极坐标来解题，所以只能用定义或者累次极限的方法。

现在我主要的困惑就是：

• 到底有没有$L$能让函数在$(-1,0)$处连续？
• 两个偏导数对于所有$L$的存在情况到底是怎样的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Heidegger