嘿，这个问题我刚好梳理过，咱们一步步拆解来证明，解决你之前卡壳的正交性问题～

首先，先明确前提：设 ( T: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n ) 是线性映射，满足对所有单位向量 ( v \in \mathbb{C}^n )，都有 ( |Tv| = 1 )。我们要证 ( T ) 是酉映射——也就是 ( T ) 保持复内积，或者等价地说 ( T^T = I )（( T^ ) 是 ( T ) 的伴随算子）。

第一步：先证明 ( T ) 是等距映射（保持所有向量的范数） #

对任意非零向量 ( u \in \mathbb{C}^n )，咱们把它单位化：( v = \frac{u}{|u|} )，这显然是个单位向量。根据题设，( |Tv| = 1 )。

因为 ( T ) 是线性的，所以 ( Tv = T\left( \frac{u}{|u|} \right) = \frac{Tu}{|u|} )，代入范数等式：
[
\left| \frac{Tu}{|u|} \right| = 1 \implies \frac{|Tu|}{|u|} = 1 \implies |Tu| = |u|
]
对零向量来说，( T0 = 0 )，范数自然也保持。所以 ( T ) 对所有向量都保持范数，是等距线性映射。

第二步：用极化恒等式证明 ( T ) 保持内积 #

这一步就是解决你纠结的正交性问题的关键！在复内积空间里，内积可以完全用范数表示，这就是极化恒等式：
[
\langle u, v \rangle = \frac{1}{4} \left( |u+v|^2 - |u-v|^2 + i|u+iv|^2 - i|u-iv|^2 \right)
]
现在看 ( \langle Tu, Tv \rangle )，因为 ( T ) 是线性的，所以 ( T(u+v) = Tu + Tv )，同理 ( T(u-v)=Tu-Tv )，( T(u+iv)=Tu+iTv )，( T(u-iv)=Tu-iTv )。

又因为 ( T ) 保持范数，所以 ( |T(u+v)| = |u+v| )，其他几项的范数也一一对应相等。把这些代入极化恒等式：
[
\langle Tu, Tv \rangle = \frac{1}{4} \left( |Tu+Tv|^2 - |Tu-Tv|^2 + i|Tu+iTv|^2 - i|Tu-iTv|^2 \right) = \frac{1}{4} \left( |u+v|^2 - |u-v|^2 + i|u+iv|^2 - i|u-iv|^2 \right) = \langle u, v \rangle
]
这就说明 ( T ) 完全保持内积！

第三步：内积保持推出酉映射 #

酉映射的定义就是“保持复内积的线性映射”，或者等价地，满足 ( T^*T = I )（因为对任意 ( u,v )，( \langle T^*Tu, v \rangle = \langle Tu, Tv \rangle = \langle u, v \rangle )，所以 ( T^*Tu = u ) 对所有 ( u ) 成立，即 ( T^*T = I )）。

至于你之前担心的“正交向量映射后是否正交”，现在就很清楚了：如果 ( u ) 和 ( v ) 正交，即 ( \langle u, v \rangle = 0 )，那么 ( \langle Tu, Tv \rangle = \langle u, v \rangle = 0 )，所以 ( Tu ) 和 ( Tv ) 也正交，完美解决你的困惑～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Daniel Mandragona