嘿，我注意到你测试发现了这个有意思的几何规律，还在疑惑为什么这个和刚好等于1对吧？咱们用面积法就能轻松搞定这个证明，思路超直观的～

首先先明确一下图形的设定（从你的式子来看应该是三角形的情况，毕竟有三个比值）：假设咱们有△ABC，点D是三角形内部的任意一点，连接AD并延长交BC于E，连接BD延长交AC于F，连接CD延长交AB于G，这时候就对应了你式子中的$\frac{DF}{FB}$、$\frac{DG}{GC}$、$\frac{DE}{EA}$三个比值。

接下来咱们用面积比来关联线段比值：

• 对于$\frac{DE}{EA}$，它等于$\frac{S_{\triangle BDE}}{S_{\triangle ABE}}$，同时也等于$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ACE}}$。根据比例的合比性质，我们可以得到$\frac{DE}{EA} = \frac{S_{\triangle BDE} + S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ACE}} = \frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle ABC}}$
• 同理可得，$\frac{DF}{FB} = \frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}$
• $\frac{DG}{GC} = \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}}$

现在把这三个比值加起来：
$$\frac{DF}{FB} + \frac{DG}{GC} + \frac{DE}{EA} = \frac{S_{\triangle ACD} + S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle ABC}}$$

而△ACD、△ABD、△BCD这三个小三角形的面积之和，正好就是整个△ABC的面积，所以分子分母相等，结果自然就是1啦！

如果是凸n边形的类似结论，可能需要调整条件和推导方式，但三角形的这个情况用面积法完全能清晰证明～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Y. zeng