问题描述 #

寻找最小的正整数，需同时满足以下两个条件：

• (i) 可表示为2002个正整数的和（数可重复），且每个数的数字和相同；
• (ii) 可表示为2003个正整数的和（数可重复），且每个数的数字和相同。

原书提供的解法 #

原书直接给出答案为 10010，验证过程如下：
$$10010 = 2002 \times 5 = 1781 \times 4 + 222 \times 13$$
具体拆分方式：

• 针对条件(i)：10010 可拆分为2002个数字和为5的数（即数字5本身）；
• 针对条件(ii)：10010 可拆分为1781个数字和为4的数（数字4）与222个数字和为13的数，且 $1781 + 222 = 2003$，满足数量要求。

最小性证明 #

利用正整数与其数字和模9同余的性质：任意正整数和它的数字和在模9下是等价的，因此一组数字和相同的数，每个数都与该数字和模9同余。

设 $k_1$ 是满足条件(i)的2002个数的数字和，$k_2$ 是满足条件(ii)的2003个数的数字和，可得：
$$4k_1 \equiv 2002k_1 \equiv 2003k_2 \equiv 5k_2 \pmod{9}$$

分情况讨论：

• 若 $k_1 \geq 5$，则条件(i)对应的总和至少为 $2002 \times 5 = 10010$；
• 若 $k_2 \geq 5$，则条件(ii)对应的总和至少为 $2003 \times 5 = 10015$，这比10010更大；
• 当 $k_1$ 取1、2、3、4时，通过同余式可推导出 $k_2$ 分别对应8、7、6、5，也就是说至少有一个 $k_1$ 或 $k_2$ 不小于5，因此最小的总和就是10010。

我的疑问 #

我想请教两个问题：

• 有没有其他思路可以解决这个问题？
• 如果没有其他解法的话，有没有更快捷的方式找到10010这个满足双条件的最小正整数？

麻烦各位帮忙解答，提前感谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Student