嘿，这个问题真的很有意思——要判断超大的$F_{33}=2^{2{33}}+1$的逆序数是否为合数，还不能直接计算它，对吧？先给你一个直接的结论：不用算$F_{33}$，我们就能判断它的逆序数不能被7整除，而且还能轻松排除一批小素因子，同时从概率上肯定它是合数。

先聊你最关心的模7问题：
题目已经告诉你$F_{33}$以9开头，这意味着它的逆序数的个位数字就是9（逆序数是把原数的数字倒过来，原数的最高位变成逆序数的个位）。那9除以7余2，所以整个逆序数除以7的余数肯定是2，不可能被7整除——就这么简单，根本不用算任何大数幂次！

再扩展一下，不用计算原数，我们还能快速排除其他小素因子：

• 模2、5：逆序数个位是9，是奇数且不是5的倍数，所以直接排除被2、5整除的可能；
• 模3：一个数和它的逆序数的数字和完全相同，所以两者模3的结果一致。计算$F_{33} mod3$：$2^2≡1 mod3$，所以$2^{2k}=(2²⁾{2^{k-1}}≡1{2^{k-1}}=1 mod3$，$F_{33}=1+1=2 mod3$，逆序数也≡2 mod3，不能被3整除；
• 模11：判断一个数能否被11整除，要看奇数位数字和与偶数位数字和的差是否为11的倍数。逆序数的奇数位数字和就是原数的偶数位数字和，反之亦然，所以逆序数模11的结果等于原数模11结果的相反数。计算$F_{33} mod11$：$2^{10}≡1 mod11$，$2^{{33}$是偶数，且$2}{33} mod10=2$（因为2的幂次末位周期是4，33 mod4=1，$2^{1=2$），所以$2}{2^{33}}=2{10m+2}≡4 mod11$，$F_{33}=4+1=5 mod11$，逆序数≡-5≡6 mod11，也不能被11整除。

最后说合数性：$F_{33}$的位数大概是$2^{33}×log_{10}2≈25.8$亿位，这么大的数几乎不可能是素数——素数的密度随数字位数增长急剧下降，而且费马数本身除了前5个，剩下的已知费马数全是合数，它的逆序数自然也极大概率是合数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Peter