问题背景 #

已知一个家庭中孩子遗传某基因突变的概率为5%，且每个孩子的遗传情况相互独立。考虑有4个孩子的家庭：

• (a) 已知第一个孩子遗传了突变，求家庭中遗传突变的孩子的期望数。
• (b) 已知至少有一个孩子遗传了突变，求家庭中遗传突变的孩子的期望数。

用户疑问 #

我算出(a)的答案是$1 + 0.05 \times 3 = 1.15$，但我计算(b)的时候得到了同样的结果，而正确答案应该是1.08，有人能给我讲讲(b)的解法吗？

问题解答 #

嗨，我来帮你理清楚这道题(b)部分的解法，以及它和(a)的核心区别！

先确认(a)的正确性 #

你对(a)的计算是完全正确的：已知第一个孩子已经突变，剩下3个孩子的遗传情况依然独立，每个突变概率是5%，所以总期望就是1（确定突变的第一个孩子）加上剩下3个的期望$3 \times 0.05$，最终得到1.15。

(b)的正确解法：用条件期望定义计算 #

我们设$X$为家庭中遗传突变的孩子数量，$X$服从二项分布$Bin(n=4, p=0.05)$。我们需要求的是条件期望$E[X | X \geq 1]$，根据条件期望的定义：
$$E[X | X \geq 1] = \frac{\sum_{k=1}^4 k \cdot P(X=k)}{P(X \geq 1)}$$

步骤1：计算分母$P(X \geq 1)$

“至少有一个孩子突变”的概率等于1减去“所有孩子都不突变”的概率：
$$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - (1-0.05)^4 = 1 - 0.95^4$$
计算得$0.95^4 = 0.81450625$，所以$P(X \geq 1) = 1 - 0.81450625 = 0.18549375$。

步骤2：计算分子$\sum_{k=1}^4 k \cdot P(X=k)$

这个求和其实就是$X$的期望$E[X]$，因为当$k=0$时项为0，不影响总和。对于二项分布，期望$E[X] = n \times p = 4 \times 0.05 = 0.2$。

如果想手动验证，也可以逐个计算每个$k$的概率再求和：

• $P(X=1) = C(4,1) \times 0.05^1 \times 0.95^3 = 0.171475$
• $P(X=2) = C(4,2) \times 0.05^2 \times 0.95^2 = 0.0135375$
• $P(X=3) = C(4,3) \times 0.05^3 \times 0.95^1 = 0.000475$
• $P(X=4) = C(4,4) \times 0.05^4 \times 0.95^0 = 0.00000625$

分子求和：
$$1 \times 0.171475 + 2 \times 0.0135375 + 3 \times 0.000475 + 4 \times 0.00000625 = 0.2$$

步骤3：计算最终条件期望

将分子分母代入公式：
$$E[X | X \geq 1] = \frac{0.2}{0.18549375} \approx 1.0782 \approx 1.08$$

为什么(b)和(a)结果不同？ #

核心在于两个条件的差异：

• (a)的条件是确定某一个孩子突变，剩下的孩子的遗传概率不受影响，直接叠加期望即可。
• (b)的条件是至少有一个孩子突变，这个条件包含了所有有突变的组合（比如只有第二个孩子突变、前两个都突变等等），这些组合的概率分布和“确定第一个突变”完全不同，所以不能用(a)的思路直接计算，必须用条件期望的定义来推导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anon