我现在碰到这么一个概率题，需要判断这个命题是真还是假，然后给出证明或者反例：

若 $P(A_1 | A_2) = P(A_1)$（也就是$A_1$和$A_2$相互独立），那么是否一定有 $P(A_1 | A_2, A_3) = P(A_1 | A_3)$？

我自己试着推导了一下，比如用条件概率的定义展开：
$P(A_1 | A_{2},A_3)=\frac{P(A_1,A_2,A_3)}{P(A_2,A_3)}$
然后换了一种方式拆解：
$\frac{P(A_3 | A_{1},A_2)P(A_{1},A_2)}{P(A_{2},A_3)}$
但绕来绕去都没能得到想要的结论，卡在这里了。有没有大佬能给点思路或者提示呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ESCM