嘿，这个问题问得特别到位——刚好触及了Hopf-Rinow定理里那些条件的核心必要性！答案是否定的，存在满足连通、完备、局部紧但不是真（proper）度量空间的例子，我给你构造一个标准的反例：

咱们先从第一个不可数序数$\omega_1$说起：它是所有可数序数的集合，给它配上合适的序拓扑后，可以定义出一个完备、局部紧的度量（具体度量构造不用太纠结，关键是它本身具备局部紧、完备的性质，但不是$\sigma$-紧的，而且没有可数稠密子集）。

接下来构造目标空间$X$：取$\omega_1$加上它的极限点$\omega_1$（形成$\omega_1 +1$）和闭区间$[0,1]$的乘积空间，再去掉点$(\omega_1, 0)$。简单说就是$X = (\omega_1 + 1) \times [0,1] \setminus {(\omega_1, 0)}$，给它配上乘积度量（把$\omega_1 +1$上的有界度量和$[0,1]$的欧氏度量结合，确保整体是完备的）。

咱们来逐一验证它满足的三个条件：

• 连通性：这个空间是连通的——任何点都可以通过垂直方向的线段连接到$t=1$的顶部，而顶部的所有点都在$(\omega_1 +1) \times {1}$这个连通子集里，整个空间连为一体。
• 完备性：它是完备空间$(\omega_1 +1) \times [0,1]$的闭子集（去掉的$(\omega_1,0)$不会是$X$中任何序列的极限，因为$X$中趋近于$\omega_1$的序列在$t$方向不能取0），所以继承的度量自然是完备的。
• 局部紧性：空间里的每个点都有紧邻域：比如对于$t>0$的点，取一个包含它的小乘积邻域，闭包是紧的；对于$t=0$的点（$\alpha < \omega_1$），取一个包含它的邻域，闭包落在序数的局部紧邻域和$[0, \epsilon]$的乘积里，这个集合也是紧的。

最后看它为什么不是真度量空间：
考虑集合$K = { (\alpha, 0) \mid \alpha < \omega_1 }$，这个集合是$X$中的闭集（任何不在$K$里的点要么$t>0$，要么是$(\omega_1, t)$且$t>0$，都有不与$K$相交的邻域），同时$K$是有界的——在乘积度量下，所有点之间的距离都不超过2（序数部分的度量有界，加上$t=0$的欧氏距离）。但$K$同胚于$\omega_1$，而$\omega_1$不是紧空间（它不存在可数子覆盖），所以$K$是闭有界但不紧的子集，这就直接说明$X$不是真度量空间。

如果你想要更“几何直观”的例子，也可以构造平面上的变体：比如把实轴和无数条垂直射线结合，通过调整度量让射线的高度被压缩，使得整个空间有界，但核心逻辑和上面的例子一致——构造出闭有界但不紧的子集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Physor