嘿，这道题乍一看确实有点唬人，但咱们一步步拆解，其实能找到漂亮的精确解，还能证明它是唯一的～

首先先明确定义域：方程里有$(x-1)$的实数指数，还有$1/x$，所以得满足：

• $x>0$（分母不为0）
• $x-1>0$（底数为正，否则非整数指数会出现复数，不符合实数解要求）
  所以定义域是$x>1$。

第一步：猜测并验证精确解 #

你提到Wolfram Alpha给出的近似解是$x≈1.61803...$，这个数是不是很眼熟？它就是黄金分割比$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，这个数有个关键性质：$\phi = 1 + \frac{1}{\phi}$，也就是$\phi - 1 = \frac{1}{\phi}$，同时$\phi - \frac{1}{\phi} = 1$（因为$\frac{1}{\phi}=\phi-1$，代入后就是$\phi - (\phi-1)=1$）。

咱们把$\phi$代入原方程左边试试：
$$
\phi(\phi-1)^{\phi - \frac{1}{\phi}} = \phi \cdot \left(\frac{1}{\phi}\right)^1 = \phi \cdot \frac{1}{\phi} = 1
$$
正好等于右边！所以$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是一个精确解。

第二步：证明这是唯一的实数解 #

接下来咱们构造函数$f(x)=x(x-1)^{x - \frac{1}{x}} - 1$，定义域$x>1$，我们需要证明$f(x)=0$只有$x=\phi$这一个解。

先把原方程变形为$(x-1)^{x - \frac{1}{x}} = \frac{1}{x}$，两边取自然对数（两边都是正数，没问题）：
$$
\left(x - \frac{1}{x}\right)\ln(x-1) = -\ln x
$$
整理成$g(x)=\left(x - \frac{1}{x}\right)\ln(x-1) + \ln x = 0$，分析$g(x)$的单调性：

对$g(x)$求导化简后可得：
$$
g'(x) = \frac{x^2+1}{x2}\ln(x-1) + \frac{x+2}{x}
$$

咱们分区间看导数的符号：

• 当$x$刚大于1时，$\ln(x-1)$是很大的负数，此时$g'(x)<0$，$g(x)$递减；
• 当$x$增大到某个值$a$（大概在1.1到1.5之间）后，$\frac{x+2}{x}$的正贡献超过$\frac{x^2+1}{x2}\ln(x-1)$的负贡献，$g'(x)>0$，$g(x)$开始递增；

再看$g(x)$的取值：

• 当$x→1^{+$时，$g(x)→0$（但$x=1$不是定义域内的解，因为会出现$0}0$的未定式）；
• 当$x=a$时，$g(x)$达到最小值，且这个最小值是负数（比如代入$x=1.2$，$g(x)≈-0.4077$）；
• 当$x=\phi$时，$g(x)=0$；
• 当$x→+∞$时，$g(x)≈x\ln x→+∞$；

这说明$g(x)$在$(1,a)$从0递减到负数，再在$(a,+∞)$递增到+∞，过程中只有$x=\phi$这一个点让$g(x)=0$，对应的$f(x)=0$也只有这一个解。

所以原方程的唯一实数解就是黄金分割比$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1174831