嘿，这个问题提得很到位！要弄明白这个极限为什么不存在，我们得先锚定函数在无穷远处极限的核心定义：当$x \to -\infty$时，函数$f(x) = \frac{1+\cos x}{3+2\cos x}$的极限存在且等于某个常数$L$的前提是——无论你指定多小的正数$\varepsilon$，总能找到一个足够小的负数$M$，使得所有满足$x < M$的$x$，都能让$|f(x)-L| < \varepsilon$成立。简单说就是，当$x$趋向负无穷时，函数值必须无限靠近某个固定数。

但咱们这个函数里藏着$\cos x$，这货是个周期振荡函数，当$x \to -\infty$时，它会一直在$[-1,1]$里来回摆动，根本不会趋向某个固定值。我们可以用**海涅定理（Heine's Theorem）**来严格证明极限不存在：

• 取第一个子列：$x_n = -2n\pi$（$n$是正整数），当$n \to \infty$时，$x_n \to -\infty$。此时$\cos x_n = \cos(-2n\pi) = 1$，代入函数得：
  $$f(x_n) = \frac{1+1}{3+2\times1} = \frac{2}{5} = 0.4$$
  也就是说这个子列对应的函数值趋向于$0.4$。

• 再取第二个子列：$y_n = -(2n+1)\pi$，当$n \to \infty$时，$y_n \to -\infty$。此时$\cos y_n = \cos(-(2n+1)\pi) = \cos((2n+1)\pi) = -1$，代入函数得：
  $$f(y_n) = \frac{1-1}{3+2\times(-1)} = \frac{0}{1} = 0$$
  这个子列对应的函数值趋向于$0$。

现在问题来了：我们找到了两个趋向于$-\infty$的子列，它们的函数值却趋向于两个不同的常数（$0$和$0.4$）。根据海涅定理，如果原函数的极限存在，那么所有趋向于$-\infty$的子列对应的函数值都必须趋向同一个极限。显然这里不满足，所以$\lim_{x \to -\infty} \frac{1+\cos x}{3+2\cos x}$极限不存在（DNE）。

至于你提到图像上看到的$[0,2]$，大概率是看错了函数表达式——如果是$\frac{1+\cos x}{3-2\cos x}$，那它的值域才是$[0,2]$。咱们当前这个函数的值域其实是$[0, \frac{2}{5}]$，因为$\cos x \in [-1,1]$，代入后函数是单调递增的（求导能验证：$f'(t)=\frac{1}{(3+2t)^2}>0$，其中$t=\cos x$），最小值在$\cos x=-1$时取$0$，最大值在$\cos x=1$时取$\frac{2}{5}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ramazan Özarslan