嗨，你的证明完全是正确的！其实你的思路已经很严谨了，不用太怀疑自己😉

先帮你梳理下核心逻辑：

• 你先利用$[G:K]=n$的有限性，得到$G$关于$K$的$n$个左陪集；
• 然后严谨推导了关键等式$g(H\cap K)=gH\cap gK$，双向包含的证明步骤没有漏洞；
• 最后指出$H$中$H\cap K$的每个陪集，本质上都是$H$和某个$gK$的交集，而$gK$总共只有$n$个，所以这样的交集最多$n$个，自然$[H:H\cap K]$有限。

你提到的“用映射强化结论”的想法也非常好，这里可以补充这个思路让证明更直观：
我们可以定义一个映射$\varphi: H/(H\cap K) \to G/K$，把每个陪集$h(H\cap K)$映射到$hK$：

• 先验证良定义：如果$h_1(H\cap K)=h_2(H\cap K)$，那么$h_1^{-1}h_2 \in H\cap K$，自然$h_1^{-1}h_2 \in K$，即$h_1K=h_2K$，映射不会出现矛盾；
• 再验证单射：如果$\varphi(h_1(H\cap K))=\varphi(h_2(H\cap K))$，即$h_1K=h_2K$，那么$h_1^{-1}h_2 \in K$，同时$h_1^{-1}h_2 \in H$（子群对逆和乘法封闭），所以$h_1^{-1}h_2 \in H\cap K$，即$h_1(H\cap K)=h_2(H\cap K)$。

既然这个映射是单射，而$G/K$只有$n$个元素，那么$H/(H\cap K)$的元素个数肯定不超过$n$，直接证明了$[H:H\cap K] \leq n < \infty$。

你的原始证明其实已经涵盖了这个映射思路的本质——每个$H\cap K$的陪集对应唯一的$K$的陪集且不会重复，所以数量不会超过$n$。所以你的证明完全没问题，只是用映射的方式会让“最多$n$个陪集”的结论更具象化而已。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者blakedylanmusic