看起来你在变量替换的过程中混淆了原方程中向量场$V$的自变量，以及$u$和$\phi$的对应关系，我来帮你梳理正确的推导步骤：

明确变量替换关系 #

首先，原方程是关于$u(x', t')$的：
$$u_{t'} = \nabla_{x'} \cdot (\nabla_{x'} u^m) + \nabla_{x'} \cdot(u V(x'))$$
其中$x' \in \mathbb{R}^n$，$t'$是时间变量。

我们定义缩放后的函数$\phi(x,t)$为：
$$\phi(x,t) = k u(x', t')$$
其中$x' = ax$，$t' = a^2 k^{m-1}t$（$k,a,m>0$为常数）。反过来，$u(x',t') = \frac{\phi(x,t)}{k}$，其中$x = \frac{x'}{a}$，$t = \frac{t'}{a^2 k^{m-1}}$。

计算各导数项 #

我们需要把原方程中的每个项都用$\phi(x,t)$的导数表示：

1. 计算$u_{t'}$：
   根据链式法则，$t' = a^2 k^{m-1}t$，所以$\frac{\partial t}{\partial t'} = \frac{1}{a^2 k^{m-1}}$，因此：
   $$u_{t'} = \frac{\partial}{\partial t'} \left( \frac{\phi(x,t)}{k} \right) = \frac{1}{k} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial t} \cdot \frac{\partial t}{\partial t'} = \frac{\phi_t}{k \cdot a^2 k^{m-1}} = \frac{\phi_t}{a^2 k^m}$$

2. 计算$\nabla_{x'} \cdot (\nabla_{x'} u^m)$：
   先展开$u^m = \left( \frac{\phi}{k} \right)^m$，计算梯度：
   $$\nabla_{x'} u^m = m \left( \frac{\phi}{k} \right)^{m-1} \nabla_{x'} \phi$$
   又因为$x' = ax$，所以$\nabla_{x'} \phi = \nabla_x \phi \cdot \frac{\partial x}{\partial x'} = \frac{\nabla_x \phi}{a}$，代入得：
   $$\nabla_{x'} u^m = m \left( \frac{\phi}{k} \right)^{m-1} \cdot \frac{\nabla_x \phi}{a}$$
   再计算散度：
   $$\nabla_{x'} \cdot (\nabla_{x'} u^m) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x'i} \left( m \left( \frac{\phi}{k} \right)^{m-1} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \cdot \frac{1}{a} \right)$$
   再次用链式法则$\frac{\partial}{\partial x'i} = \frac{\partial}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial x_i}{\partial x'i} = \frac{1}{a} \frac{\partial}{\partial x_i}$，代入化简：
   $$\nabla{x'} \cdot (\nabla{x'} u^m) = \frac{1}{a^2} \nabla_x \cdot \left( m \left( \frac{\phi}{k} \right)^{m-1} \nabla_x \phi \right)$$
   注意到$\nabla_x \phi^m = m \phi^{m-1} \nabla_x \phi$，代入后：
   $$\nabla{x'} \cdot (\nabla_{x'} u^m) = \frac{1}{a^2 k^m} \nabla \cdot (\nabla \phi^m)$$

3. 计算$\nabla_{x'} \cdot(u V(x'))$：
   这里$x' = ax$，所以$V(x') = V(ax)$，且$u = \frac{\phi}{k}$，代入得：
   $$\nabla_{x'} \cdot(u V(x')) = \nabla_{x'} \cdot \left( \frac{\phi}{k} V(ax) \right)$$
   用散度的乘积法则展开：
   $$= \frac{1}{k} \left( \nabla_{x'} \phi \cdot V(ax) + \phi \nabla_{x'} \cdot V(ax) \right)$$
   同样用链式法则替换导数：$\nabla_{x'} \phi = \frac{\nabla_x \phi}{a}$，$\nabla_{x'} \cdot V(ax) = \frac{1}{a} \nabla_x \cdot V(ax)$，代入后：
   $$= \frac{1}{k} \left( \frac{\nabla_x \phi}{a} \cdot V(ax) + \phi \cdot \frac{1}{a} \nabla_x \cdot V(ax) \right) = \frac{1}{a k} \nabla_x \cdot \left( \phi V(ax) \right)$$

代入原方程并化简 #

将上述三个项代入原方程$u_{t'} = \nabla_{x'} \cdot (\nabla_{x'} u^m) + \nabla_{x'} \cdot(u V(x'))$：
$$\frac{\phi_t}{a^2 k^m} = \frac{1}{a^2 k^m} \nabla \cdot (\nabla \phi^m) + \frac{1}{a k} \nabla \cdot \left( \phi V(ax) \right)$$

两边同时乘以$a^2 k^m$消去分母：
$$\phi_t = \nabla \cdot (\nabla \phi^m) + a k^{m-1} \nabla \cdot \left( \phi V(ax) \right)$$

根据题目定义$V_{\phi} = a k^{m-1} V(ax)$，上式可以改写为：
$$\phi_t = \nabla \cdot (\nabla \phi^m) + \nabla \cdot (\phi V_{\phi})$$

这正好就是你要证明的目标方程$\star$！

总结你的错误点 #

• 混淆了原方程中$V$的自变量：原方程中$V$的自变量是$u$的空间变量$x'=ax$，而不是$\phi$的空间变量$x$；
• 在推导$\nabla_{\tilde{x}} \cdot(u V)$时，错误地直接用$\phi$代替了$u$，漏掉了$1/k$的因子，导致后续化简出错。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rudinberry