题目内容 #

已知函数 $f(x)=\frac{3\sqrt{2x^2+x}}{2x2+x+2\sin^2\theta}$（其中 $x\gt0$）的最大值为 $\frac{3}{\sqrt{2}}$，则θ可能的取值范围是：

• A) $(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6})$
• B) $(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$
• C) $(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3})$
• D) $(-\pi,\pi)$

我的尝试过程 #

一开始我想用放缩法来分析函数的范围，写下了这样的不等式：

$\frac{3\sqrt{2x^2+x}}{2x2+x+2(1)} \le f(x)\le\frac{3\sqrt{2x^2+x}}{2x2+x+2(0)}$
化简后得到：$\frac{3}{\sqrt{2x^{2+x}+\frac{2}{\sqrt{2x}2+x}}} \le f(x)\le\frac{3}{\sqrt{2x^2+x}}$

不过写到这里就卡壳了，不知道接下来该怎么推进。

后来我尝试用求导的方法来找极值，计算了f(x)的导数：

$f'(x)=\frac{(2x^2+x+2\sin2\theta)\frac{3(4x+1)}{2\sqrt{2x^{2+x}}-3\sqrt{2x}2+x}(4x+1)}{(2x^2+x+2\sin2\theta)^2}$

把分子部分整理后得到：

分子化简为 $3(4x+1)(2x^2+x+2\sin2\theta-2(2x^2+x))$，也就是 $3(4x+1)(2\sin^2\theta-2x2-x)$

但还是没理清怎么和最大值条件结合起来。

完整解法思路 #

其实换个换元法会更简单，我来一步步给你理清楚：

1. 变量替换简化函数
   设 $u = 2x^2 + x$，因为 $x>0$，所以 $u$ 的取值范围是 $(0, +\infty)$，原函数可以改写为：
   $$f(x) = \frac{3\sqrt{u}}{u + 2\sin^2\theta}$$
   再令 $t = \sqrt{u}$（$t>0$），函数进一步简化为：
   $$f(t) = \frac{3t}{t^2 + c}$$
   这里 $c = 2\sin^2\theta$，显然 $c\ge0$（因为平方数非负）。

2. 求简化后函数的最大值
   我们用基本不等式来求最值更快捷：
   对于正实数 $t^2$ 和 $c$，有 $t^2 + c \ge 2t\sqrt{c}$，当且仅当 $t^2 = c$ 时取等号。
   所以：
   $$\frac{t}{t^2 + c} \le \frac{t}{2t\sqrt{c}} = \frac{1}{2\sqrt{c}}$$
   因此 $f(t)$ 的最大值为 $\frac{3}{2\sqrt{c}}$。

3. 结合题目条件求解θ
   题目说函数的最大值是 $\frac{3}{\sqrt{2}}$，所以我们可以列等式：
   $$\frac{3}{2\sqrt{c}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$
   两边约掉3，解得：
   $$2\sqrt{c} = \sqrt{2} \implies \sqrt{c} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies c = \frac{1}{2}$$
   而 $c = 2\sin^2\theta$，代入得：
   $$2\sin^2\theta = \frac{1}{2} \implies \sin^2\theta = \frac{1}{4} \implies |\sin\theta| = \frac{1}{2}$$
   这意味着 $\sin\theta = \pm\frac{1}{2}$，对应的θ取值为 $\theta = k\pi \pm \frac{\pi}{6}$（$k$ 为整数）。

4. 匹配选项
   现在看各个选项：

• 选项A：$(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6})$ 是开区间，里面的θ的正弦值绝对值都小于 $\frac{1}{2}$，没有满足条件的θ，排除；
• 选项B：$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$ 中，$\pm\frac{\pi}{6}$ 都在这个区间内（因为 $\frac{\pi}{6} \approx 0.523 < \frac{\pi}{4} \approx 0.785$），所以存在满足条件的θ；
• 选项C：$(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3})$ 中，$\pm\frac{\pi}{6}$ 也在这个区间内（$\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3} \approx 1.047$），同样存在满足条件的θ；
• 选项D：$(-\pi,\pi)$ 包含了 $\pm\frac{\pi}{6}$、$\pm\frac{5\pi}{6}$ 等所有在一个周期内满足条件的θ，也存在满足条件的θ。

如果是单选题，结合常见题型设置，核心满足条件的θ如 $\pm\frac{\pi}{6}$ 同时属于B、C、D，但从区间覆盖的合理性来看，选项C是更贴合的常规答案。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aarbee