嘿，我来一步步帮你搞定这个问题！首先先把参数方程的小问题修正下，避免后续计算出错～

第一步：修正并明确两条直线的参数方程 #

• 直线AB：点$A=(2,4,0)$，方向向量$\overrightarrow{AB} = B - A = (3-2,1-4,1-0)=(1,-3,1)$，所以正确的参数方程是：
  P₁(t) = (2 + t, 4 - 3t, t)，也就是：
  • x = 2 + t
  • y = 4 - 3t
  • z = t
• 直线CD：点$C=(1,1,3)$，方向向量$\overrightarrow{CD} = D - C = (0-1,5-1,1-3)=(-1,4,-2)$，你的参数方程是对的：
  P₂(t₁) = (1 - t₁, 1 + 4t₁, 3 - 2t₁)，也就是：
  • x = 1 - t₁
  • y = 1 + 4t₁
  • z = 3 - 2t₁

第二步：写出线段$P₁P₂$的向量表达式 #

任意取AB上的点$P₁(t)$和CD上的点$P₂(t₁)$，它们的连线向量为：
$$\overrightarrow{P₁P₂} = P₂(t₁) - P₁(t) = (1 - t₁ - 2 - t,\ 1 + 4t₁ - 4 + 3t,\ 3 - 2t₁ - t)$$
化简后得到：
$$\overrightarrow{P₁P₂} = (-1 - t - t₁,\ -3 + 3t + 4t₁,\ 3 - t - 2t₁)$$

第三步：利用垂直条件列方程 #

这个连线向量要同时垂直于AB和CD的方向向量，根据向量垂直的性质：两个垂直向量的点积为0。

1. 与$\overrightarrow{AB}=(1,-3,1)$的点积为0

$$(-1 - t - t₁)×1 + (-3 + 3t + 4t₁)×(-3) + (3 - t - 2t₁)×1 = 0$$
展开并合并同类项：
$$11 - 11t - 15t₁ = 0 \quad \text{—— 记为方程(1)}$$

2. 与$\overrightarrow{CD}=(-1,4,-2)$的点积为0

$$(-1 - t - t₁)×(-1) + (-3 + 3t + 4t₁)×4 + (3 - t - 2t₁)×(-2) = 0$$
展开并合并同类项：
$$-17 + 15t + 21t₁ = 0 \quad \text{—— 记为方程(2)}$$

第四步：解二元一次方程组 #

现在我们有了方程组：

1. $11t + 15t₁ = 11$
2. $15t + 21t₁ = 17$

用消元法求解：

• 方程(1)×15：$165t + 225t₁ = 165$
• 方程(2)×11：$165t + 231t₁ = 187$
  用第二个式子减第一个式子，得到：$6t₁ = 22 → t₁ = \frac{11}{3}$
  把$t₁=\frac{11}{3}$代入方程(1)，解得：$t = -4$

第五步：计算垂直线段的长度 #

把$t=-4$和$t₁=\frac{11}{3}$代入参数方程，得到两个垂足：

• $P₁(-4) = (2-4,\ 4-3×(-4),\ -4) = (-2,16,-4)$
• $P₂(\frac{11}{3}) = (1-\frac{11}{3},\ 1+4×\frac{11}{3},\ 3-2×\frac{11}{3}) = (-\frac{8}{3},\ \frac{47}{3},\ -\frac{13}{3})$

计算两点间的距离：
$$d = \sqrt{(-\frac{8}{3}+2)^2 + (\frac{47}{3}-16)^2 + (-\frac{13}{3}+4)^2}$$
化简后：
$$d = \sqrt{(-\frac{2}{3})^2 + (-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{4+1+1}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

另外，你提到的$\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{CD}=(2,1,1)$是对的！也可以用叉乘验证距离：距离等于向量$\overrightarrow{AC}$在叉乘方向上的投影绝对值除以叉乘的模长，结果和咱们算的一致，说明没问题～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者VOZ ESTOICA