关于Gelfand三元组中V的自反性如何导出R(i*)稠密性的技术问询
背景设定：
给定实Hilbert空间$(H, \langle \cdot , \cdot \rangle_H)$，其诱导范数为$|\cdot|$；$V$是$H$的稠密线性子空间，自身带有范数$[\cdot]$使得$(V, [\cdot])$是Banach空间，且嵌入映射$i: V \to H$连续。$V*$是$V$的对偶空间（范数$[![\cdot]!]$），$H$是$H$的对偶空间（范数$|\cdot|$），$i^: H^* \to V*$是$i$的伴随算子，满足$i(\varphi) = \varphi|_V$对所有$\varphi \in H*$成立。已知$i$是单射且连续，现需解答：为什么当$V$自反时，$R(i*)$在$V*$中稠密？
嘿，我来一步步给你拆解这个推导逻辑，核心是用Hahn-Banach定理的相关结论，结合自反空间的特性：
先回忆稠密性的判别准则
对于Banach空间$X$，其子集$S \subset X*$在$X*$中范数稠密的充要条件是：不存在非零的$x \in X$，使得对所有$s \in S$都有$s(x)=0$。这其实是Hahn-Banach分离定理的逆否推论，我们就用这个来反证。反证法假设：$R(i^*)$不稠密
如果$R(i*)$在$V$中不稠密，根据Hahn-Banach定理，存在一个非零的$\psi \in V^{**}$（$V$的二次对偶空间），使得对所有$f \in R(i^)$，都有$\psi(f)=0$。利用$V$的自反性拉回泛函
因为$V$是自反Banach空间，所以二次对偶$V^{**}$和$V$本身是等距同构的——也就是说，这个非零的$\psi$一定对应着$V$中的某个非零元素$v_0$，满足：对任意$f \in V^*$，$\psi(f) = f(v_0)$。结合伴随算子的定义推导矛盾
对于任意$\varphi \in H*$，$i(\varphi) = \varphi|_V$属于$R(i*)$，所以根据我们的假设，$\psi(i(\varphi))=0$。代入$\psi$和$v_0$的对应关系，就有：
$$(i^(\varphi))(v_0) = 0$$
而根据伴随算子的定义，$(i^(\varphi))(v_0) = \varphi(i(v_0))$，又因为$i$是嵌入映射，$i(v_0)=v_0$，所以上式等价于：
$$\varphi(v_0) = 0 \quad \forall \varphi \in H^$$
但$H$是Hilbert空间，$H*$和$H$等距同构，只有$H$中的零向量才能让所有$H$中的泛函在其上取0值，这就意味着$v_0=0$，和我们之前说的$v_0$非零矛盾。结论
反证的假设不成立，因此$R(i*)$必须在$V*$中稠密。
简单来说，自反性帮我们把二次对偶里的“抽象泛函”转化成了$V$里的具体元素，再结合$V$在$H$中的稠密性、$H*$能区分$H$中点的特性，最终导出了$R(i*)$的稠密性。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Akira
