第一个问题：证明对所有 $0<x$，有 $\displaystyle \frac{f(x)}{x} < f'(x)$ #

我的尝试： #

显然$f$满足中值定理的条件，所以在区间$[0,x]$上对$f$应用中值定理，得到：
$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{f(x)}{x} = f'(c)$$
其中$c \in (0,x)$。

已知$f'$是递增函数，所以对任意$d$满足$c<d$，有$f'(c)<f'(d)$，因此得到：
$$\frac{f(x)}{x} < f'(d)$$

我的卡点：怎么把$f'(d)$换成$f'(x)$呢？

第二个问题：设$f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$连续可导，$f(0)=0$且$f'$递增，证明$g(x)$是递增函数 #

$g(x)$的定义如下：
$$
g(x):=\begin{cases}
\frac{f(x)}{x}& \text{当 } x>0\
f'(0)& \text{当 } x= 0
\end{cases}
$$

我的尝试： #

我需要证明若$x_1 < x_2$，则$g(x_1)<g(x_2)$。

当$x_1=0$时，显然$g(0)=f'(0)$，而$0<x_2$，所以$f'(0) < f'(x_2)$，这部分是成立的。

现在要证明当$x_1 > 0$时，$\displaystyle \frac{f(x_1)}{x_1} <\frac{f(x_2)}{x_2}$。

我已经知道$\displaystyle \frac{f(x_1)}{x_1} < f'(x_1)$，但在这里卡住了，不知道接下来怎么推进。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fuat Ray