嘿，我来帮你把这个问题的关键点理清楚——包括那个空间定义的疑惑，还有证明卡壳的最后一步怎么推进～

先澄清空间定义的疑问 #

首先你问的“which derivative can be extended continuously to [0,1]”，翻译过来就是这个空间里的函数满足：

• 函数$f$在开区间$(0,1)$上是连续可微的：也就是$f'(t)$在$(0,1)$上处处存在，并且$f'$本身是$(0,1)$上的连续函数；
• 这个导数$f'$可以连续延拓到闭区间$[0,1]$：意思是当$t$从右侧趋近$0$时，$f'(t)$有有限极限，我们把这个极限定义为$f'(0)$；同理，当$t$从左侧趋近$1$时，$f'(t)$也有有限极限，定义为$f'(1)$。延拓后的$f'$在整个$[0,1]$上是连续的。

简单说，就是$f$的导数不仅在开区间连续，还能“补全”端点处的定义，让整个导数在闭区间上连续——相当于$f'$本身就是$[0,1]$上的连续函数，只是$f$的可微性先在开区间保证，再通过延拓把端点的导数定义补上。

证明的关键：怎么推出$G=F'$ #

你前面的思路完全没问题：给定柯西序列$(f_n) \subseteq C'[0,1]$，由范数的定义，$(f_n)$和$(f_n')$都是$C[0,1]$（上确界范数下）的柯西序列，而$C[0,1]$是Banach空间，所以它们分别一致收敛到$F \in C[0,1]$和$G \in C[0,1]$。现在要联系$F$和$G$的导数关系，这里用牛顿-莱布尼茨公式+一致收敛的积分性质就能解决：

1. 对每个$n$，因为$f_n \in C'[0,1]$，所以对任意$t \in [0,1]$，牛顿-莱布尼茨公式成立：
   $$f_n(t) = f_n(0) + \int_0^t f_n'(s) ds$$
2. 两边取$n \to \infty$的极限：
   • 左边：$\lim_{n\to\infty} f_n(t) = F(t)$（因为$f_n$一致收敛到$F$，点收敛自然成立）；
   • 右边第一项：$\lim_{n\to\infty} f_n(0) = F(0)$（同样是一致收敛的点收敛特例）；
   • 右边第二项：因为$f_n'$一致收敛到$G$，而积分对一致收敛的序列可以交换极限和积分顺序，所以：
     $$\lim_{n\to\infty} \int_0^t f_n'(s) ds = \int_0^t \lim_{n\to\infty} f_n'(s) ds = \int_0^t G(s) ds$$
3. 于是我们得到：
   $$F(t) = F(0) + \int_0^t G(s) ds$$
4. 现在，$G$是$[0,1]$上的连续函数，根据微积分基本定理，积分函数的导数就是被积函数，所以对所有$t \in [0,1]$，$F'(t) = G(t)$。而且$G$连续，所以$F'$在$[0,1]$上连续，这就说明$F \in C'[0,1]$。

最后验证范数下的收敛性 #

因为$f_n$一致收敛到$F$，所以$|f_n - F|\infty = \max{t \in [0,1]} |f_n(t)-F(t)| \to 0$；同时$f_n'$一致收敛到$F'=G$，所以$|f_n' - F'|\infty \to 0$。因此：
$$|f_n - F| = \max\left{|f_n - F|\infty, |f_n' - F'|_\infty\right} \to 0$$
这就证明了$C'[0,1]$在给定范数下是Banach空间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Byag