嗨，我来一步步拆解这个问题，帮你搞清楚q₁、q₂、q₃是怎么来的：

首先明确起点：矩阵$M = \sum p_i \sigma_i \otimes \sigma_i^{*$，其中$p_i$是概率（满足$p_0+p_1+p_2+p_3=1$），$\sigma_i$是泡利矩阵（包含单位矩阵$\sigma_0=I$），$\sigma_i}$是$\sigma_i$的复数共轭（注意：$\sigma_1$、$\sigma_3$是实矩阵，所以$\sigma_1^{*=\sigma_1$、$\sigma_3}=\sigma_3$；$\sigma_2$是虚矩阵，$\sigma_2^*=-\sigma_2$）。

步骤1：将M分解到正交子空间 #

我们可以把4维的M矩阵拆成两个互不相交的二维子空间单独分析：

• 对称子空间：由态$|00\rangle$和$|11\rangle$张成
• 反对称子空间：由态$|01\rangle$和$|10\rangle$张成

M在这两个子空间上的作用是独立的，我们只需要计算每个子空间内M的特征值——矩阵可逆的充要条件是所有特征值都不为零，而这些特征值就是我们要找的q值。

步骤2：计算对称子空间的特征值 #

在对称子空间中，M的矩阵表示为：
$$
\begin{pmatrix} p_0+p_3 & p_1+p_2 \ p_1+p_2 & p_0+p_3 \end{pmatrix}
$$
这是一个常数对角+对称非对角的矩阵，特征值很容易求解：

• 第一个特征值：$(p_0+p_3)+(p_1+p_2) = p_0+p_1+p_2+p_3 = 1$（因为$p_i$是概率，和为1，这个值必然不为0）
• 第二个特征值：$(p_0+p_3)-(p_1+p_2) = p_0 - p_1 - p_2 + p_3 = q_3$

步骤3：计算反对称子空间的特征值 #

在反对称子空间中，M的矩阵表示为：
$$
\begin{pmatrix} p_0-p_3 & p_1-p_2 \ p_1-p_2 & p_0-p_3 \end{pmatrix}
$$
同样是常数对角+对称非对角的结构，特征值为：

• 第一个特征值：$(p_0-p_3)+(p_1-p_2) = p_0+p_1-p_2-p_3 = q_1$
• 第二个特征值：$(p_0-p_3)-(p_1-p_2) = p_0-p_1+p_2-p_3 = q_2$

步骤4：得出可逆条件 #

矩阵M可逆当且仅当所有特征值都不为0。由于第一个特征值是1（必然非0），所以只需要另外三个特征值$q_1$、$q_2$、$q_3$都不为0，这就是题目中三个条件的来源。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mushahid Khan