原问题 #

给定如下分段定义的函数：
$$f(x)=\begin{cases}0&;& x\text{ 为无理数}\\frac1n&;& x\text{ 为形如 } x=\frac mn\text{ 的既约分数，且 } m,n\gt0\end{cases}$$

请判断下列选项的正确性：

• A) $f(x)$ 在 $x=1$ 处不连续
• B) $f(x)$ 在 $x=2$ 处不连续
• C) $f(x)$ 在 $x=\sqrt2$ 处不连续
• D) $f(x)$ 在 $x=\sqrt3$ 处不连续

我的尝试与疑问 #

题目给出的参考答案是AB，解析只简单说明“$f(x)$ 在所有无理点处连续”。

我首先怀疑题目可能存在笔误——会不会是把 $\frac1n$ 写成 $\frac1x$ 了？但我拿不太准。

就算改成 $\frac1x$，我也搞不懂为什么函数会在无理点连续。比如拿 $x=\sqrt2$ 来说，这里 $f(x)=0$，但它左右邻近的有理点对应的函数值都不为0，这不应该是不连续的吗？

如果我们要对题目做最少修改，让函数满足“在无理点连续、有理点不连续”这个条件，应该怎么改？仅仅把 $n$ 改成 $x$ 就够了吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aarbee