嘿，我来帮你搞定这个问题！你已经迈出了正确的第一步——展开正弦的和差公式，现在卡在消去$\sin(b)$对吧？别着急，这里给你两种清晰的解法：

方法一：用平方恒等式消元 #

你已经得到了：

$$x = \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$$
$$y = \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$$

1. 先把两个式子相加，得到：
   $$x + y = 2\sin(a)\cos(b) \implies \sin(a)\cos(b) = \frac{x+y}{2}$$
2. 再把两个式子相减，就是你已经算出来的：
   $$x - y = 2\cos(a)\sin(b) \implies \cos(a)\sin(b) = \frac{x-y}{2}$$

接下来，把这两个等式分别平方后相加，利用三角函数核心的平方恒等式$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$：
$$\left(\sin(a)\cos(b)\right)^2 + \left(\cos(a)\sin(b)\right)^2 = \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 + \left(\frac{x-y}{2}\right)^2$$

先算右边的结果：
$$\frac{(x+y)^2 + (x-y)^2}{4} = \frac{x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2}{4} = \frac{x^2 + y^2}{2}$$

然后把$\sin(a) = \frac{x+y}{2\cos(b)}$代入$\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1$，再结合$\sin(b) = \frac{x-y}{2\cos(a)}$和$\cos^2(b) + \sin^2(b) = 1$，经过整理后会得到关于$\cos^2(a)$的一元二次方程，最终解出：
$$\cos^2(a) = \frac{1 - xy \pm \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)}}{2}$$
所以$\cos(a) = \pm \sqrt{\frac{1 - xy \pm \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)}}{2}}$

方法二：用余弦和角公式直接关联2a #

这个方法更巧妙！注意到$(a+b)+(a-b)=2a$，我们可以用余弦的和角公式计算$\cos(2a)$：
$$\cos(2a) = \cos[(a+b)+(a-b)] = \cos(a+b)\cos(a-b) - \sin(a+b)\sin(a-b)$$

我们知道$\cos(a+b) = \pm\sqrt{1 - x^2}$，$\cos(a-b) = \pm\sqrt{1 - y^2}$，同时二倍角公式$\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1$，把这些代入后：
$$2\cos^2(a) - 1 = \pm\sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)} - xy$$

整理后就能得到和方法一完全一致的结果：
$$\cos^2(a) = \frac{1 - xy \pm \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)}}{2}$$
$$\cos(a) = \pm \sqrt{\frac{1 - xy \pm \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)}}{2}}$$

这里的正负号需要根据a、b所在的象限来确定，如果没有额外条件，就保留所有可能的情况哦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Niccolo