我来帮你仔细梳理并检查这个求解过程哈：

你的思路亮点 #

你首先准确求出了函数在原点处的两个偏导数都是0，这一步完全正确；接着紧扣多元函数可微的定义，把问题转化为验证一个极限是否为0，这个方向没问题；最后用极坐标变换简化极限计算，这也是多元函数极限里的常用技巧，思路框架是对的。

需要修正的错误点 #

不过在判断极限趋于0的条件时，你出现了小失误：
你得出“$2p-1\geq 1 \implies p \geq 1$”的结论不准确。我们来看极坐标变换后的极限：
$$\lim_{r \to 0} r^{2p-1}\left\vert \frac{\sin2\theta}{2} \right\vert^p$$
这里$\left\vert \frac{\sin2\theta}{2} \right\vert^{p$是**有界量**（最大值是$\left(\frac{1}{2}\right)}p$，不会超过1），要让整个表达式对所有$\theta$都趋于0，只需要$r$的幂次$2p-1>0$就行——因为当$2p-1>0$时，$r^{2p-1}$是$r$的正数次幂，$r\to0$时这个项会趋于0，乘以有界量后整体还是趋于0。

我们分情况细化验证：

• 当$p>\frac{1}{2}$时，$2p-1>0$，极限对所有$\theta$都趋于0，满足可微的定义；
• 当$p=\frac{1}{2}$时，极限变为$\left\vert \frac{\sin2\theta}{2} \right\vert^{\frac{1}{2}}$，这个值会随$\theta$变化（比如$\theta=\frac{\pi}{4}$时是$\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\theta=0$时是0），极限不存在，函数不可微；
• 当$p<\frac{1}{2}$时，$2p-1<0$，$r^{{2p-1}=\frac{1}{r}{1-2p}}$，$r\to0$时这个项趋于无穷大，整体极限不存在，函数不可微。

最终正确结论 #

函数$f(x,y)=|xy|^p$在$(0,0)$处可微的充要条件是$\boldsymbol{p>\frac{1}{2}}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Maths