嘿，这个问题问得特别棒——你用了一个明显“不合规”的假设（把余弦函数当多项式来套用韦达定理），居然得到了完全正确的结果，这种“歪打正着”的情况背后其实藏着整函数的核心性质，咱们一步步拆解：

为什么这个“错误假设”能生效？ #

余弦函数确实不是多项式，但它属于整函数（在整个复平面上都解析的函数），而整函数有一个非常关键的性质：可以像多项式那样做因式分解，也就是Weierstrass分解定理。对于余弦函数来说，它的无穷乘积展开式是：
$$\cos(x) = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{x^2}{( (2n-1)\pi/2 )^2}\right)$$
这个式子可以理解成“无穷次多项式”的因式分解，它的根正好就是你列出的$\pm\pi/2, \pm3\pi/2, \pm5\pi/2, \dots$。

而你用到的“系数与根的倒数幂次和”的关系，本质上是可以从这个无穷乘积的展开中推导出来的：把无穷乘积展开成幂级数，然后和余弦函数的泰勒级数展开（$1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$）对比系数，就能得到类似有限多项式韦达定理的结果——因为这里涉及的无穷级数（比如$\sum 1/r_i^2$）是收敛的，所以这种系数对比是有效的，这就是为什么你的“错误假设”能得到正确结果。

要让这个“证明”合法，需要补充哪些步骤？ #

如果要把这个启发式推导变成严格的数学证明，你需要补上这几个关键环节：

• 证明余弦函数的无穷乘积展开式成立：可以通过已知的正弦函数无穷乘积（$\sin(x) = x\prod_{n=1}^{\infty}(1 - x^2/(n\pi)2)$）来推导，利用$\cos(x) = \sin(2x)/(2\sin(x))$，化简后就能得到余弦的乘积形式，这一步需要严格验证无穷乘积的收敛性。
• 验证幂级数系数与根的倒数幂次和的对应关系：有限多项式的韦达定理是直接成立的，但对于无穷乘积，你需要证明：当把$\prod_{i}(1 - x/r_i)$展开成幂级数时，$x^2$项的系数等于$\sum_{i<j} 1/(r_i r_j)$，并且这个无穷级数是收敛的（这里$\sum 1/(r_i r_j)$对应的级数是绝对收敛的，所以没问题）。
• 明确整函数与多项式的边界：要说明不是所有整函数都能这么用，只有当根的倒数幂次对应的级数收敛时，这种“韦达定理”的推广才有效——比如如果整函数的根分布太密集，对应的级数发散，那这种方法就失效了。

顺便提一句：你的这个思路其实和欧拉当年推导$\sum_{n=1}^{\infty}1/n2 = \pi^2/6$的思路几乎一样，欧拉最开始也是大胆地把正弦函数当多项式来处理，后来的数学家才补上了严格的证明，所以你的这个“flawed proof”其实是非常经典的启发式推导，只是缺了严谨性的收尾。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1211726