嘿，我来帮你拆解Ahlfors在证明魏尔斯特拉斯$\wp$函数双周期性时的这个思路——核心就是用导数的双周期性反推原函数的周期性，咱们一步步来理清楚：

首先，先搞明白为什么$\dot{\wp}(z)$的双周期性是“显然”的：

我们先看导数的定义：
$$\dot{\wp}(z)＝-2\sum_{\omega}\frac{1}{(z-\omega)^3}$$
这里的$\omega$是指由两个基本周期$\omega_1, \omega_2$生成的所有格点（也就是所有形如$m\omega_1 + n\omega_2$的复数，其中$m,n$是整数）。当我们给$z$加上任意一个基本周期，比如$\omega_1$，代入导数公式：
$$\dot{\wp}(z+\omega_1)＝-2\sum_{\omega}\frac{1}{(z+\omega_1 - \omega)^3}$$
注意到：当$\omega$遍历所有格点时，$\omega - \omega_1$也会遍历所有格点（因为格点集合对加法封闭，减去一个格点还是格点）。所以上面的求和其实和$\dot{\wp}(z)$的求和完全等价，只是求和项的顺序换了而已。而这个级数是绝对收敛的（分母是三次方，格点的数量随半径平方增长，级数$\sum 1/|\omega|^3$收敛），求和顺序不影响结果，因此$\dot{\wp}(z+\omega_1)=\dot{\wp}(z)$。同理对另一个基本周期$\omega_2$也成立，所以$\dot{\wp}(z)$是双周期函数，这就是Ahlfors说它“明显”的原因。

接下来是关键：为什么导数双周期能推出原函数$\wp(z)$双周期？

假设我们取任意一个基本周期$\omega$（比如$\omega_1$），考虑函数$F(z) = \wp(z+\omega) - \wp(z)$。对$F(z)$求导，得到：
$$F'(z) = \dot{\wp}(z+\omega) - \dot{\wp}(z) = 0$$
因为$\dot{\wp}$是双周期的。而在复分析里，导数恒为0的解析函数是常数，所以$F(z)$是一个常数$C$，也就是$\wp(z+\omega) - \wp(z) = C$。

现在只需要证明这个常数$C=0$就行，这时候就要用到$\wp(z)$的奇偶性了：
从$\wp(z)$的定义式：
$$\wp(z)＝\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\neq 0} \left(\frac{1}{(z-\omega)^{2}-\frac{1}{\omega}2}\right)$$
把$z$换成$-z$，可以得到：
$$\wp(-z)＝\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\neq 0} \left(\frac{1}{(-z-\omega)^{2}-\frac{1}{\omega}2}\right)＝\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\neq 0} \left(\frac{1}{(z+\omega)^{2}-\frac{1}{\omega}2}\right)$$
当$\omega$遍历所有非零格点时，$-\omega$也会遍历所有非零格点，所以上面的求和项和原$\wp(z)$的求和项完全一致，因此$\wp(-z)=\wp(z)$，$\wp(z)$是偶函数。

现在我们令$z = -\omega/2$，代入$\wp(z+\omega) - \wp(z) = C$，得到：
$$\wp\left(-\frac{\omega}{2} + \omega\right) - \wp\left(-\frac{\omega}{2}\right) = \wp\left(\frac{\omega}{2}\right) - \wp\left(\frac{\omega}{2}\right) = 0 = C$$
常数$C$等于0，所以$\wp(z+\omega)=\wp(z)$，对两个基本周期$\omega_1, \omega_2$都成立，因此$\wp(z)$是双周期函数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tianhaowu