我来帮你梳理一下卡住的这两个部分的解决思路，一步步拆解清楚：

一、如何得到系数 $8/\pi^3$ 的渐近近似 #

你已经找对了核心方向：大迭代次数下误差由模最大的特征值对应的项主导，也就是 $\boldsymbol{u}^{{(k)}-\boldsymbol{u}}{(\infty)} \sim a_1 \cos^k(\pi/M) \boldsymbol{v}^1$，接下来重点就是计算 $a_1$ 并找到误差分量的最大值。

1. 修正初始误差的表达式 #

初始误差向量 $\boldsymbol{u}^{{(0)}-\boldsymbol{u}}{(\infty)} = -\boldsymbol{u}^{(\infty)}$，所以每个分量为：
$$
(\boldsymbol{u}^{{(0)}-\boldsymbol{u}}{(\infty)})_m = -u(mh) = -mh(mh-1) = mh(1-mh)
$$
其中 $h=1/M$，$x_m=mh$ 是离散点。

2. 计算内积 $a_1$ #

根据正交特征基的性质，$a_1 = (\boldsymbol{u}^{{(0)}-\boldsymbol{u}}{(\infty)}) \cdot \boldsymbol{v}^1$，代入特征向量 $\boldsymbol{v}^1$ 的分量 $\sqrt{\frac{2}{M}} \sin\left(\frac{\pi m}{M}\right)$，得到：
$$
a_1 = \sum_{m=1}^{M-1} mh(1-mh) \cdot \sqrt{\frac{2}{M}} \sin\left(\frac{\pi m}{M}\right)
$$

3. 求和转积分的渐近近似 #

当 $M$ 很大时，$h$ 很小，离散求和可以用定积分近似：
$$
\sum_{m=1}^{M-1} f(mh) \approx \frac{1}{h} \int_0^1 f(x)dx
$$
这里 $f(x)=x(1-x)\sin(\pi x)$，先计算定积分：
$$
\int_0^1 x(1-x)\sin(\pi x)dx = \frac{4}{\pi^3}
$$
（积分计算过程放在文末补充里）

代入求和近似：
$$
\sum_{m=1}^{M-1} mh(1-mh)\sin\left(\frac{\pi m}{M}\right) \approx \frac{1}{h} \times \frac{4}{\pi^3} = M \times \frac{4}{\pi^3}
$$

4. 计算 $a_1$ 并得到最大分量 #

把求和结果代入 $a_1$：
$$
a_1 = \sqrt{\frac{2}{M}} \times M \times \frac{4}{\pi^3} = \frac{4\sqrt{2M}}{\pi^3}
$$

误差分量的主导项是 $a_1 \cos^k(\pi/M) \cdot \boldsymbol{v}^1_m$，代入 $\boldsymbol{v}^1_m = \sqrt{\frac{2}{M}} \sin\left(\frac{\pi m}{M}\right)$：
$$
\text{分量值} = \frac{4\sqrt{2M}}{\pi^3} \times \cos^k(\pi/M) \times \sqrt{\frac{2}{M}} \sin\left(\frac{\pi m}{M}\right)
$$
化简系数：
$$
4\sqrt{2M} \times \sqrt{\frac{2}{M}} = 4 \times 2 = 8
$$
所以分量值为 $\frac{8}{\pi^3} \cos^k(\pi/M) \sin\left(\frac{\pi m}{M}\right)$。

当 $m=\lfloor M/2 \rfloor$ 时，$\sin\left(\frac{\pi m}{M}\right) \approx 1$（$M$ 很大时接近 $\sin(\pi/2)=1$），此时分量达到最大值，也就是：
$$
\text{最大分量} \approx \frac{8}{\pi^3} \cos^k(\pi/M)
$$

二、推导迭代次数的近似值 #

现在需要满足 $\left|\boldsymbol{u}^{{(k)}-\boldsymbol{u}}{(\infty)}\right|_{\infty} \leq 10^{-6}$，用上面的最大分量近似条件：
$$
\frac{8}{\pi^3} \cos^k(\pi/M) \leq 10^{-6}
$$

1. 小角度余弦的近似 #

当 $M$ 很大时，$\pi/M$ 是小角度，用泰勒展开近似：
$$
\cos\left(\frac{\pi}{M}\right) \approx 1 - \frac{\pi^2}{2M2}
$$
对其取自然对数，利用 $\ln(1-\epsilon) \approx -\epsilon$（$\epsilon$ 很小）：
$$
\ln\left(\cos\left(\frac{\pi}{M}\right)\right) \approx -\frac{\pi^2}{2M2}
$$

2. 解不等式求迭代次数 $k$ #

对误差条件两边取自然对数：
$$
\ln\left(\frac{8}{\pi^3}\right) + k \ln\left(\cos\left(\frac{\pi}{M}\right)\right) \leq \ln(10^{-6})
$$

代入常数计算：

• $\ln(8) \approx 2.079$，$\ln(\pi) \approx 1.145$，所以 $\ln\left(\frac{8}{\pi^3}\right) \approx 2.079 - 3\times1.145 = -1.356$
• $\ln(10^{-6}) = -6\ln(10) \approx -13.816$

把这些值代入不等式：
$$
-1.356 + k \times \left(-\frac{\pi^2}{2M2}\right) \leq -13.816
$$

移项整理：
$$
k \times \frac{\pi^2}{2M2} \geq 13.816 - 1.356 = 12.46
$$

计算系数：$\frac{\pi^2}{2} \approx 4.935$，所以：
$$
k \geq \frac{12.46}{4.935} M^2 \approx 2.525 M^2 \approx 2.5 M^2
$$

这里的“约”是指我们用了小角度的渐近近似，忽略了高阶小项，得到的是针对大 $M$ 的近似估计值，不是精确值，所以用“约 $2.5M^2$”来表述。

补充：定积分的计算过程 #

$$
\int_0^1 x(1-x)\sin(\pi x)dx = \int_0^1 (x - x^2)\sin(\pi x)dx
$$

• 计算 $\int x\sin(\pi x)dx = -\frac{x}{\pi}\cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2}\sin(\pi x) + C$，代入上下限得 $\frac{1}{\pi}$
• 计算 $\int x^2\sin(\pi x)dx = -\frac{x^2}{\pi}\cos(\pi x) + \frac{2x}{\pi^2}\sin(\pi x) + \frac{2}{\pi^3}\cos(\pi x) + C$，代入上下限得 $\frac{1}{\pi} - \frac{4}{\pi^3}$

所以：
$$
\int_0^1 (x-x^2)\sin(\pi x)dx = \frac{1}{\pi} - \left(\frac{1}{\pi} - \frac{4}{\pi^3}\right) = \frac{4}{\pi^3}
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Maths Wizzard