以下是符合需求的Python实现代码，包含完整的向量计算与可视化逻辑：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置绘图风格
plt.style.use('seaborn-v0_8')

# 1. 生成参数t与曲线坐标
t = np.linspace(-4, 4, 100)
x = t
y = t**3 - 9*t

# 2. 计算一阶导数（切向量原始分量）
dx_dt = np.gradient(x, t)
dy_dt = np.gradient(y, t)

# 3. 计算单位切向量T
norm_t = np.hypot(dx_dt, dy_dt)
# 避免模长为0的情况（通用容错处理）
norm_t[norm_t < 1e-10] = 1e-10
Tx = dx_dt / norm_t
Ty = dy_dt / norm_t

# 4. 计算二阶导数，用于判断凹侧方向
d2x_dt2 = np.gradient(dx_dt, t)
d2y_dt2 = np.gradient(dy_dt, t)

# 5. 计算指向凹侧的单位法向量N
# 生成两个候选法向量：切向量逆时针/顺时针旋转90度
N_candidate1 = (-Ty, Tx)    # 逆时针旋转
N_candidate2 = (Ty, -Tx)    # 顺时针旋转

# 通过曲率符号判断凹侧方向
curvature_sign = np.sign(dx_dt * d2y_dt2 - dy_dt * d2x_dt2)
Nx = np.where(curvature_sign > 0, N_candidate1[0], N_candidate2[0])
Ny = np.where(curvature_sign > 0, N_candidate1[1], N_candidate2[1])

# 6. 选取曲线上的采样点（每隔10个点取一个）
sample_indices = np.arange(0, len(t), 10)
x_sample = x[sample_indices]
y_sample = y[sample_indices]
Tx_sample = Tx[sample_indices]
Ty_sample = Ty[sample_indices]
Nx_sample = Nx[sample_indices]
Ny_sample = Ny[sample_indices]

# 7. 绘制曲线与向量
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
# 绘制参数曲线
ax.plot(x, y, label="参数曲线 $x=t, y=t^3-9t$", linewidth=2, color='darkblue')
# 绘制单位切向量（红色）
ax.quiver(x_sample, y_sample, Tx_sample, Ty_sample, 
          color='red', scale=15, label='单位切向量 $\mathbf{T}$')
# 绘制凹侧单位法向量（绿色）
ax.quiver(x_sample, y_sample, Nx_sample, Ny_sample, 
          color='green', scale=15, label='凹侧单位法向量 $\mathbf{N}$')

# 图表配置
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('参数化曲线的切向量与法向量')
ax.legend()
ax.axis('equal')  # 保持坐标轴比例一致，避免向量变形
plt.show()

关键步骤说明 #

1. 导数计算 #

使用np.gradient计算一阶、二阶数值导数，这是numpy中处理离散序列导数的稳健方法，比手动差分更适配非均匀参数序列。

2. 单位切向量生成 #

切向量的原始分量为(dx_dt, dy_dt)，通过除以其欧几里得模长（np.hypot计算）完成单位化，同时添加了模长为0的容错处理。

3. 凹侧法向量判断 #

参数化曲线的凹侧由曲率符号决定：

• 曲率公式：$k = \frac{dx \cdot d^2y - dy \cdot d^2x}{(dx2 + dy²⁾{3/2}}$
• 当$k>0$时，曲线逆时针弯曲，选择切向量逆时针旋转90度的法向量；
• 当$k<0$时，曲线顺时针弯曲，选择切向量顺时针旋转90度的法向量；
  通过np.where根据曲率符号自动匹配正确的法向量方向。

4. 向量可视化 #

使用plt.quiver绘制向量，scale参数控制向量显示长度（单位向量通过scale放大后更清晰），axis('equal')确保坐标轴比例一致，避免向量形状失真。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Andrew