别担心，你的解法和Wolfram Alpha的结果都是正确的——它们看起来不同，只是因为不定积分的结果本身就包含一个任意常数，而这两个表达式其实只差一个常数项！

先拆解你的换元逻辑 #

你第一步设$u = x^2$，得到$du = 2x dx$，因此$x dx = \frac{du}{2}$，原积分转化为：
$$\frac{1}{2} \int \sin(u) \cos(u) du$$
这一步完全正确。

接下来你选择$v = \sin(u)$，那么$dv = \cos(u) du$，积分进一步转化为：
$$\frac{1}{2} \int v dv = \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{2} + C = \frac{\sin^2(u)}{4} + C = \frac{\sin^2(x2)}{4} + C$$
你提到自己得到的是$\frac{1}{4} \cos^2(x2)$，这里可能是换元时的小失误（比如误选了$v = \cos(u)$且符号处理有误），但核心是：这个结果和Wolfram的解本质等价。

再看Wolfram Alpha的解法 #

Wolfram可能在第二步选择了$v = \cos(u)$，此时$dv = -\sin(u) du$，积分变为：
$$\frac{1}{2} \int (-v) dv = -\frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{2} + C = -\frac{\cos^2(u)}{4} + C = -\frac{\cos^2(x2)}{4} + C$$
或者它用了三角恒等式简化：$\sin(u)\cos(u) = \frac{\sin(2u)}{2}$，代入后积分变成：
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \sin(2u) du = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{\cos(2u)}{2}\right) + C = -\frac{\cos(2x^2)}{8} + C$$

为什么两个结果看起来不同？ #

这要用到三角函数的平方关系：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，以及二倍角公式$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$。我们可以把不同形式的结果互相转化：

• $\frac{\sin^2(x2)}{4} + C = \frac{1 - \cos^2(x2)}{4} + C = -\frac{\cos^2(x2)}{4} + \left(C + \frac{1}{4}\right)$
• $-\frac{\sin^2(x2)}{4} + C = -\frac{1 - \cos(2x^2)}{8} + C = -\frac{1}{8} + \frac{\cos(2x^2)}{8} + C$

你会发现，所有这些结果之间都只差一个常数项——而不定积分中的任意常数$C$可以吸收这个差异，所以它们都是原函数的正确表示。

关键结论 #

• 换元法中选择$\sin(u)$还是$\cos(u)$作为新变量都是合理的，没有“必须选哪一个”的规定，只是最终结果的形式不同而已。
• 不定积分的结果本身就不唯一，只要两个表达式之间只差一个常数，它们就都是正确的——这是原函数的定义决定的：如果$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，那么所有原函数都可以写成$F(x) + C$（$C$为任意常数）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lemma25