嘿，你这个用抛物线顶点当单位元的群构造思路真的挺巧妙的！我之前也见过类似的圆上的群构造，确实和椭圆曲线的群律有异曲同工之妙。咱们来一步步推导这个交换群运算的代数表达式吧：

首先，为了方便计算，我们把抛物线写成顶点式——毕竟顶点$E$是群的零元（单位元）：
设顶点$E$的坐标为$(h, k)$，那么抛物线的方程可以表示为：
y = a(x - h)² + k
其中$a≠0$，群$G$就是这条抛物线上所有点的集合${(x, a(x-h)² + k) | x ∈ ℂ}$。

接下来，取群里任意两个点：

• 点$A$：$(x₁, y₁)$，满足$y₁ = a(x₁ - h)² + k$
• 点$B$：$(x₂, y₂)$，满足$y₂ = a(x₂ - h)² + k$

按照你提出的几何规则，我们来推导代数形式：

1. 计算直线AB的斜率
   把$y₁$和$y₂$代入斜率公式，约分后可以得到：
   m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = a(x₁ + x₂ - 2h)
   （如果$x₁=x₂$，也就是$A=B$的倍点情况，我们后面单独验证）

2. 写出过E且平行于AB的直线方程
   因为平行直线斜率相同，这条直线的方程为：
   y - k = m(x - h)

3. 求直线与抛物线的另一个交点（即$A+B$的结果）
   把直线方程代入抛物线方程，消去$y$后整理：

   m(x - h) + k = a(x - h)² + k
   a(x - h)² - m(x - h) = 0
   

   提取公因子$(x - h)$后，得到两个解：

   • $x = h$，对应顶点$E$（零元）
   • 另一个解代入$m$的值化简后：x = x₁ + x₂ - h
     再把这个$x$值代入抛物线方程，得到对应的$y$坐标：
     y = a(x₁ + x₂ - 2h)² + k

最终群运算的代数表达式 #

如果$A=(x₁, y₁)$，$B=(x₂, y₂)$，那么群运算$A+B$的结果为：
$$A+B = \left(x_1+x_2-h,\ a(x_1+x_2-2h)^2 + k\right)$$

特殊情况验证 #

• 零元性质：当$A=E=(h,k)$时，代入表达式得$A+E=(x₂, y₂)=B$，符合零元的定义。
• 逆元：若$A+B=E$，则$x₁+x₂-h=h$，即$x₂=2h-x₁$，对应的$y₂=a(h-x₁)^2 +k=y₁$——也就是说，点$A$的逆元就是它关于抛物线对称轴$x=h$的对称点，这和几何规则完全吻合。
• 倍点运算：当$A=B$时，抛物线在$A$点的切线斜率为$2a(x₁-h)$，代入表达式得到倍点结果为$(2x₁-h,\ 4a(x₁-h)^2 +k)$，和切线构造的几何结果一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者UniversalBasicIncomeSupporter8