嘿，我来帮你把这个问题捋明白！首先咱们先搞清楚题目到底要咱们做什么：它要证明跑道面积T等于跑道宽度w，乘以内外边缘正中间那条跑道的周长。结合你给出的问题59的答案，其实推导起来很顺，咱们一步步来：

先明确参数定义（从公式和跑道结构能看出来） #

• s：跑道直道部分的长度
• r：内圈弯道的半径
• w：跑道的宽度

第一步：计算内外边缘中间位置的跑道周长 #

跑道的中间位置，弯道部分的半径应该是内圈半径加上半宽，也就是 r + w/2。而直道部分的长度不受宽度影响，还是原来的s，两段就是2s。

中间跑道的周长（咱们叫它C）就是直道长度加弯道总长度：

C = 两段直道长度 + 两个半圆弯道的总长度（也就是一个整圆的周长）
C = 2s + 2π(r + w/2)

把这个式子化简一下：

C = 2s + π(2r + w)

第二步：结合问题59的面积公式对比 #

你已经给出问题59的跑道面积结果：

T = w[2s + π(2r + w)]

把咱们刚算出的中间周长C代入进去，这不就是：

T = w × C

这不就正好证明了题目要求的结论——跑道面积T是宽度w和内外边缘中间跑道周长的乘积吗？

额外补充：从面积拆分的角度再验证 #

如果觉得直接用问题59的公式有点“取巧”，咱们可以自己拆跑道面积来推导：

• 直道部分的面积：两个长为s、宽为w的长方形，总面积是2×s×w
• 弯道部分的面积：外圆面积减去内圆面积，也就是π(r+w)² - πr²，展开化简后是π(2rw + w²) = w×π(2r + w)

把两部分加起来，总跑道面积：

T = 2sw + wπ(2r + w) = w[2s + π(2r + w)]

和问题59的结果一致，再结合中间周长的计算，还是能得到T = w×中间周长的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anthony Gatlin