嗨，很高兴看到你对这个函数的逆展开做了前期探索（比如用Desmos画图）！先明确一下当$a=\theta=1$时的简化函数——因为原函数里$\theta<x$即$x>1$，我们可以把表达式整理得更清晰：

$$
f(x) = \sqrt{3x(x-1)\ln\left(\frac{x}{x-1}\right)}
$$

你说得没错，这个函数是代数项和超越对数项的复合，不存在初等的显式逆函数，所以无穷级数展开确实是非常合理的方向。下面我给你介绍几种可行的展开思路，对应不同的$x$（或$y=f(x)$）的取值范围：

1. 当$y \to 0^+$（对应$x \to 1^+$）时的级数展开 #

此时$x-1$是趋近于0的小量，我们令$t = x-1$（$t \to 0^{+$），代入原方程$y}2 = f(x)^2$可得：
$$
y^2 = 3t(1+t)\left(\ln(1+t) - \ln t\right)
$$
由于$t \to 0$时，$\ln t$是主导项，我们可以先忽略高阶小量，得到近似关系$y^2 \approx -3t\ln t$。接下来可以借助Lambert W函数来转化这个方程：令$t = e^{{-z}$，则方程变为$y}2 \approx 3ze^{{-z}$，即$ze}{-z} \approx \frac{y^2}{3}$。

Lambert W函数在$z \to 0$时的泰勒展开是已知的：
$$
W(z) = z - z^2 + \frac{3}{2}z^3 - \frac{8}{3}z^4 + \dots
$$
因为当$y \to 0$时$\frac{y^2}{3} \to 0$，我们可以把$z = W\left(\frac{y^2}{3}\right)$代入$t = e^{-z}$，再结合指数函数的泰勒展开，最终就能得到$t$关于$y$的级数，进而得到$x = 1 + t$的展开式。

2. 当$y \to +\infty$（对应$x \to +\infty$）时的渐近展开 #

此时$x$很大，我们令$t = \frac{1}{x}$（$t \to 0^{+$），代入$y}2 = f(x)^2$后化简可得：
$$
y^2 = \frac{3}{t}\left(1 - \frac{t}{2} - \frac{t^2}{6} - \dots\right)
$$
整理后得到近似关系$\frac{3}{t} \approx y^2 + \frac{3}{2}$，即$t \approx \frac{6}{2y^2 + 3}$。接下来可以用迭代法来求更高阶的项：把$t$的近似值代回原式右边的小项里，逐步修正，最终得到$t$关于$\frac{1}{y}$的渐近级数，再转换为$x = \frac{1}{t}$的展开式。

3. 在某个中间点附近的泰勒展开 #

如果你需要在某个特定的$y$值附近的展开（比如$x=2$对应的$y \approx 2.04$），可以用隐函数求导结合泰勒展开的方法：

• 先确定目标点：比如取$x_0=2$，计算$y_0 = f(x_0) = \sqrt{6\ln2}$
• 对隐函数$y^2 = 3x(x-1)\ln\left(\frac{x}{x-1}\right)$两边关于$y$求导，得到$\frac{dx}{dy}$的表达式，代入$x_0,y_0$得到一阶导数
• 重复求导得到二阶、三阶导数，最终写出$x(y)$在$y=y_0$附近的泰勒级数：
  $$
  x(y) = x_0 + x'(y_0)(y-y_0) + \frac{x''(y_0)}{2!}(y-y_0)^2 + \frac{x'''(y_0)}{3!}(y-y_0)^3 + \dots
  $$

这些方法都能帮你得到逆函数的级数展开，具体用哪种取决于你需要的取值范围哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ario Derek