嘿，这个问题问得特别到位！我来给你把这个逻辑捋明白～

首先得回到导数的核心定义：一个函数在某点的导数，本质是该点处瞬时变化率的极限，用数学式子写出来就是：
$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$
这个极限能存在的前提是——左极限（x从a的左侧趋近）和右极限（x从a的右侧趋近）必须完全相等，这是极限存在的基本要求，对吧？

咱们拿你给出的分段函数具体算算：

• 先看右极限（x从1的右侧趋近）：此时$f(x)=x$，$f(1)=1$，代入极限式得$\frac{x - 1}{x - 1}=1$，当$x→1^+$时，这个极限就是1——这也是$g₂(x)$在$x=1$处的导数。
• 再看左极限（x从1的左侧趋近）：此时$f(x)=x²$，$f(1)=1$，代入后$\frac{x² - 1}{x - 1} = x + 1$，当$x→1^-$时，这个极限是2——这是$g₁(x)$在$x=1$处的左导数。

现在关键问题来了：左极限是2，右极限是1，两者不相等，那整个极限$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$就不存在！而导数的定义就是这个极限存在时才会有定义，所以$f'(1)$自然就没法定义了。

你可能会疑惑：为什么不能直接取右边分支的导数1？那是因为导数描述的是函数在该点整体的瞬时变化趋势，不是只看某一边。想象一下：从左边往$x=1$移动时，函数的斜率越来越接近2；但从右边往$x=1$移动时，斜率一直是1——这两个趋势完全脱节，相当于在$x=1$这个点，函数的“倾斜程度”突然跳了一下，没有一个统一的、唯一的瞬时变化率，那导数当然就不存在了。

最后再补个关键点：连续只是函数可导的必要条件，不是充分条件。哪怕函数在某点连续，只要分段点处的左导数和右导数不相等，导数就没法定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user110391