嘿，我来帮你理清这个困惑，咱们一步一步拆解：

首先说第一个问题：如果不抬笔就能画出一个函数的曲线，那这个函数一定连续吗？

得先明确一个核心前提：咱们讨论的「函数」必须满足「每个x值对应唯一的y值」这个定义。在这个前提下，如果你能不抬笔画出它的图像，那这个函数确实是连续的——因为函数连续的直观本质就是“没有断点、跳跃或孤立的空洞”，这和你不抬笔绘画的体验完全契合。反过来，如果函数存在间断点（比如跳跃间断点、可去间断点、无穷间断点），那画图像时要么得抬笔跳过断点，要么那个定义点和曲线本身不重合，根本没法一笔完成。

然后是第二个问题：如果有一条曲线，某段平行于y轴（也就是一个x对应多个y值），能不抬笔画出来，那这条曲线“连续”吗？

这里要划重点：这条曲线根本不是函数的图像！因为函数要求每个x只能对应一个y，而平行于y轴的部分，同一个x对应了无数个y，完全不符合函数的定义。而「连续性」是专属于函数的概念，不是随便一条平面曲线都能套用这个术语的。

当然，要是单纯从几何曲线的角度说，这条能一笔画完的曲线确实是“连续的曲线”——毕竟它没有断开，但这和咱们数学里说的「函数连续性」完全是两码事，可别搞混啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user342326