我完全理解你的困惑——毕竟这是个非自治微分方程，直接套用自治方程里“平衡解（令$dy/dt=0$）”的思路确实不太严谨，甚至有点误导人。咱们一步步拆解这个问题，把逻辑理清楚：

• 先明确通解的正确形式
  首先，这个一阶线性非齐次ODE的通解不是你猜测的y(t)=ce^{-2t}+tf(b(t))，正确的通解可以通过常数变易法推导：
  对应的齐次方程通解是$y_h(t)=ce^{-2t}$，非齐次的特解$y_p(t)$有标准公式：
  $$y_p(t) = e^{{-2t}\int_{t_0}}t e^{2s}b(s)ds$$
  因此完整通解为：
  $$y(t) = ce^{-2t} + e^{{-2t}\int_{t_0}}t e^{2s}b(s)ds$$

• 为什么解最终会落在$[-1/2,1]$范围内？
  咱们拆分通解的两项来看：

  1. 第一项$ce^{-2t}$：当$t \to +\infty$时，这一项会指数衰减至0，无论常数$c$取何值，最终都会消失。
  2. 第二项是核心，我们可以把它改写为指数加权平均的形式：
     $$y_p(t) = \frac{\int_{t_0}^t e^{{2s}b(s)ds}{e}{2t}}$$
     因为已知$-1 < b(s) < 2$对所有$s$成立，我们可以对积分做放缩：
     $$\int_{t_0}^t e^{2s}(-1)ds < \int_{t_0}^t e^{2s}b(s)ds < \int_{t_0}^t e^{2s}(2)ds$$
     计算左右两边的积分：
     左边结果为：$$-1 \cdot \frac{e^{2t} - e^{2t_0}}{2}$$
     右边结果为：$$2 \cdot \frac{e^{2t} - e^{2t_0}}{2} = e^{2t} - e^{2t_0}$$
     两边同时除以$e^{2t}$后得到：
     $$-\frac{1}{2} + \frac{e^{2t_0}}{2e{2t}} < y_p(t) < 1 - \frac{e^{2t_0}}{e{2t}}$$
     当$t \to +\infty$时，$\frac{e^{2t_0}}{e{2t}}$趋近于0，因此$y_p(t)$会被夹在$-1/2$和$1$之间。而通解$y(t)$因为第一项的衰减，最终会趋近于$y_p(t)$，也就是落在$[-1/2,1]$区间内。

• 原答案的“平衡解”思路为什么能得到正确结果？
  原答案的逻辑其实是一种启发式的直觉而非严谨证明：它把时变的$b(t)$当成了“任意常数”，去套用自治方程的平衡解思路（令$dy/dt=0$得$y=b/2$）。巧合的是，当$t \to \infty$时，特解$y_p(t)$的界刚好和“若$b$为常数$c$，平衡解为$c/2$”的界一致，所以结果对了，但推导过程是不严谨的，你的质疑完全合理。

• 补充：解不会长期超出范围的“拉回”机制
  假设某一时刻$t_1$，$y(t_1) > 1$，此时$dy/dt = b(t) - 2y(t) < 2 - 2 \times 1 = 0$，函数会开始递减；如果$y(t_1) < -1/2$，则$dy/dt = b(t) - 2y(t) > -1 - 2 \times (-1/2) = 0$，函数会开始递增。这种机制会把解往$(-1/2,1)$区间拽，再加上指数衰减项的影响，最终解会稳定在这个区间附近。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1223346