嘿，这个问题问得太到位了！先直接给你个明确答案：是的，存在这样的算法，而且你提到的“嵌入到更大域里看合成或交”的思路完全找对了方向，咱们一步步拆解来看：

首先，你说得没错，最基础的前提是两个多项式必须度数相同——如果deg(f)≠deg(g)，那F[x]/(f(x))和F[y]/(g(y))作为F上的向量空间维度都不一样，根本不可能同构，这是第一步就能快速筛掉的情况。

接下来进入核心判断，这里有几个等价的思路，本质都是围绕“单扩张的同构性等价于一个多项式在另一个扩张中有根”这个关键性质：

思路一：利用多项式模运算+线性方程组验证 #

假设n=deg(f)=deg(g)，我们可以拿其中一个扩张来测试另一个多项式是否有根：

1. 先构造扩张K=F[x]/(f(x))，把K看作F上的n维向量空间，基就是1, x, x², ..., x^{n-1}（这里x是f(x)在K中的根的代表元）。
2. 我们要判断g(y)在K中是否存在根α，也就是找一组系数a₀,a₁,...,a_{n-1}∈F，使得g(a₀+a₁x+...+a_{n-1}x^{n-1}) ≡ 0 mod f(x)。
3. 具体计算时，把α代入g(y)展开，再用f(x)=0把所有高于n-1次的x幂替换成低次项，最后会得到一个次数小于n的多项式，令这个多项式的所有系数都为0，就得到了关于a₀,...,a_{n-1}的n个线性方程。解这个方程组，如果有解，说明存在这样的根，两个扩张同构；否则不同构。

举个简单例子：F=ℚ，f(x)=x²-2，g(x)=x²-8。我们取α=2x，代入g(y)得(2x)²-8=4x²-8=4(x²-2)≡0 mod f(x)，满足条件，所以ℚ[x]/(x²-2)和ℚ[y]/(x²-8)同构（毕竟它们都是ℚ(√2)）。

思路二：通过合成域的维度判断 #

这就是你提到的“嵌入到更大域”的思路：
构造合成域L=F[x,y]/(f(x),g(y))，看它作为F上的扩张次数：

• 如果[L:F]=n²，说明f和g在对方的扩张里都没有根，两个扩张不同构；
• 如果[L:F]=n，说明两个扩张其实是同一个域（合成域就是它们本身），自然同构。

这个思路的本质和第一种是相通的——合成域的次数等于[F[x]/(f):F] * [L:F[x]/(f)]，而[L:F[x]/(f)]就是g(y)在F[x]/(f)上的不可约次数，当且仅当这个次数是1（也就是g有根）时，合成域的次数才会是n。

补充：理论层面的等价条件 #

从代数闭包的角度看，这两个扩张同构当且仅当f和g在F的代数闭包中是“共轭”的——也就是存在F的代数自同构，把f的某个根映射到g的某个根。不过这个是理论性质，算法上还是得回到前面的计算方法。

总结一下，整个算法的流程很清晰：先查度数是否相等，再通过多项式模运算或者合成域维度验证一个多项式在另一个扩张中是否有根，就能判断两个单域扩张是否同构了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amateur_Algebraist