嗨，我来帮你梳理下这个微分方程的求解思路～

首先先把你的问题再明确下：

我遇到了这个问题，除了一个初步的思路外，实在不确定该怎么推进。问题如下：
$$A(x)y''(x) + A'(x)y'(x) + \frac{y}{A(x)} = 0 $$
其中y(x)是未知函数，A(x)是已知函数（但未给出具体形式），需要求通解。我最初的思路是把方程重写成这样：
$$ \frac{d}{dx}[y'(x)A(x)] + \frac{y}{A(x)} = 0 $$
但不知道接下来该怎么做。

你第一步的合并操作非常关键，已经把方程简化了不少，接下来我们可以通过变量替换把它转化为我们熟悉的常系数微分方程：

步骤1：引入变量替换 #

令 ( t = \int \frac{dx}{A(x)} )，这个替换的核心是利用 ( \frac{dt}{dx} = \frac{1}{A(x)} )，把x的导数转化为t的导数：

• 首先，( y'(x) = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{A(x)} \cdot \frac{dy}{dt} )
• 然后计算二阶导数 ( y''(x) )：
  $$
  y''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{A(x)} \cdot \frac{dy}{dt} \right) = -\frac{A'(x)}{A(x)^2} \cdot \frac{dy}{dt} + \frac{1}{A(x)^2} \cdot \frac{d^2y}{dt2}
  $$

步骤2：代入原方程化简 #

把y'和y''代入原方程 ( A(x)y''(x) + A'(x)y'(x) + \frac{y}{A(x)} = 0 )：

• 第一项 ( A(x)y''(x) = -\frac{A'(x)}{A(x)} \cdot \frac{dy}{dt} + \frac{1}{A(x)} \cdot \frac{d^2y}{dt2} )
• 第二项 ( A'(x)y'(x) = \frac{A'(x)}{A(x)} \cdot \frac{dy}{dt} )
• 第三项 ( \frac{y}{A(x)} )

把这三项加起来，你会发现含有 ( \frac{dy}{dt} ) 的项正好抵消，最终得到：
$$
\frac{1}{A(x)} \cdot \frac{d^2y}{dt2} + \frac{y}{A(x)} = 0
$$
两边同时乘以A(x)，就得到了我们熟悉的二阶常系数齐次方程：
$$
\frac{d^2y}{dt2} + y = 0
$$

步骤3：求解常系数方程并换回原变量 #

这个方程的通解是我们熟知的：
$$
y(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t
$$
其中( C_1 )和( C_2 )是任意常数。最后把t换回x的形式，也就是 ( t = \int \frac{dx}{A(x)} )，就得到原方程的通解：
$$
y(x) = C_1 \cos\left( \int \frac{dx}{A(x)} \right) + C_2 \sin\left( \int \frac{dx}{A(x)} \right)
$$

验证解的正确性 #

我们可以把这个解代入你转化后的方程 ( \frac{d}{dx}[y'(x)A(x)] + \frac{y}{A(x)} = 0 ) 验证：

• 先计算 ( A(x)y'(x) = -C_1 \sin\left( \int \frac{dx}{A(x)} \right) + C_2 \cos\left( \int \frac{dx}{A(x)} \right) )
• 再对其求导：( \frac{d}{dx}[A(x)y'(x)] = -\frac{1}{A(x)} \left( C_1 \cos\left( \int \frac{dx}{A(x)} \right) + C_2 \sin\left( \int \frac{dx}{A(x)} \right) \right) = -\frac{y}{A(x)} )
• 显然 ( -\frac{y}{A(x)} + \frac{y}{A(x)} = 0 )，完全符合方程，说明这个解是正确的！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jack