代数扩张塔性质中“包含关系”假设能否移除？

答案是肯定的，这个命题完全成立！咱们来一步步梳理证明的思路：

1. 任取$u \in K$，由于$u$在$E$上代数，必然存在$E$上的不可约多项式 $f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$，满足$f(u)=0$。

2. 考虑由$k$和$f(x)$的系数生成的中间域$k(a_0,a_1,\dots,a_n)$：

   • 每个$a_i$都是$E$中的元素，而题目里说$E$的所有元素都在$k$上代数，所以$k(a_0,a_1,\dots,a_n)$是$k$的代数扩张（有限生成的代数扩张一定是有限扩张，自然属于代数扩张范畴）。
   • 同时，$u$在$k(a_0,a_1,\dots,a_n)$上显然是代数的——毕竟$f(x)$的系数都在这个中间域里，$f(u)=0$直接满足代数的定义。

3. 现在我们构造出了一个明确的包含扩张塔：$k(a_0,a_1,\dots,a_n,u) \supseteq k(a_0,a_1,\dots,a_n) \supseteq k$。根据经典的代数扩张塔性质：如果塔中每一层都是代数扩张，那么最顶层对最底层也是代数扩张，由此可以直接推出$u$在$k$上代数。

因为$u$是$K$中任意选取的元素，所以$K$中所有元素都在$k$上代数，命题得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Asigan