示例函数：$f(x) = 3x + (x+2)^{\frac{3}{5}}$
该函数的拐点在$x=-2$处，当$x<-2$时函数上凹，$x>-2$时函数下凹。
我的疑问：点$(-2,-6)$应该被判定为上凹、下凹、两者都是还是都不是？
我的教材说它两者都是，但我不太确定。

首先得明确拐点的核心定义：拐点是函数凹凸性发生改变的分界点，它的本质是连接了两个不同凹凸性的区间。

咱们先拆解这个函数的导数情况：一阶导数是$f'(x)=3+\frac{3}{5}(x+2)^{{-\frac{2}{5}}$，二阶导数$f''(x)=-\frac{6}{25}(x+2)}{-\frac{7}{5}}$——你会发现$x=-2$处二阶导数是不存在的，但这不影响它成为拐点，因为两侧的凹凸性确实发生了切换：$x<-2$时$f''(x)>0$（上凹），$x>-2$时$f''(x)<0$（下凹）。

那回到你的问题：单个点$(-2,-6)$的凹凸性怎么算？

严格来说，凹凸性是针对区间的属性，不是单个点。我们说函数在某个区间上凹/下凹，是描述这段区间内曲线的弯曲方向，单个点本身没有“弯曲”的概念。

那教材说它“两者都是”，其实是一种简化的表述——因为这个点是左侧上凹区间的右端点，同时也是右侧下凹区间的左端点（如果我们把区间定义为包含端点的闭区间的话）。换个直观的角度：当你从左边趋近这个点时，函数是上凹的形态；从右边趋近时，是下凹的形态。这个点作为分界，自然就被关联了两侧的凹凸性。

所以给你个清晰的结论：

• 从严谨的数学定义出发，单个点没有凹凸性，凹凸性是区间层面的性质；
• 教材的说法是为了方便你理解拐点的分界特性，不用纠结字面意思，核心是记住拐点是凹凸性切换的那个关键点就好。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者photon