嘿，我来帮你梳理这个反常积分的化简思路。你提到的Gamma函数方向其实没错，但直接套用确实会遇到发散问题，我们可以换个常用技巧——积分交换顺序来突破，这是处理含对数差积分的经典方法。

首先，先把被积函数里的对数差转化为积分形式：
$$\ln(e^{{x+s}+1)-\ln(e}x+1) = \int_{e^x}{e^{x+s}} \frac{dt}{t+1}$$
这个变形很关键，它把对数差拆解成了关于t的积分，这样原积分就能改写成二重积分，进而交换积分顺序：
$$\int_{0}^{{\infty}\frac{1}{se}{s}} \left( \int_{e^x}{e^{x+s}} \frac{dt}{t+1} \right) ds$$

接下来根据Fubini定理（被积函数非负，满足交换条件）调整积分顺序：

• t的取值范围是$[e^x, +\infty)$
• 对每个t，s需要满足$e^{x+s} \geq t$，也就是$s \geq \ln t - x$，结合x>0、t≥e^x的条件，s的范围直接取$[\ln t - x, +\infty)$

原积分就转化为：
$$\int_{e^x}{\infty} \frac{dt}{t+1} \int_{\ln t - x}^{\infty} \frac{ds}{s e^s}$$

现在处理内层的s积分，这里可以用**指数积分函数（Ei）**来表示，指数积分的定义是$\text{Ei}(-z) = -\int_{z}^{\infty} \frac{e^{-u}}{u} du$，所以内层积分：
$$\int_{\ln t - x}^{\infty} \frac{ds}{s e^s} = \int_{\ln t - x}^{\infty} \frac{e^{-s}}{s} ds = -\text{Ei}(-(\ln t - x)) = -\text{Ei}(x - \ln t)$$

把这个结果代回，原积分就能得到用指数积分表示的闭式解：
$$-\int_{e^x}{\infty} \frac{\text{Ei}(x - \ln t)}{t+1} dt$$

如果换元令$u = \ln t - x$（即$t = e^{u+x}$），还能得到更简洁的形式：
$$-\int_{0}^{\infty} \frac{e^{u+x}}{e{u+x}+1} \text{Ei}(-u) du = -\int_{0}^{\infty} \frac{e^u}{eu + e^{-x}} \text{Ei}(-u) du$$

另外，指数积分和不完全Gamma函数$\Gamma(0,z)$存在关联：$\text{Ei}(-z) = -\Gamma(0,z)$，所以也可以写成不完全Gamma函数的形式：
$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^u}{eu + e^{-x}} \Gamma(0,u) du$$

需要说明的是，这个积分无法化简为初等函数形式，必须借助指数积分或不完全Gamma函数这类特殊函数来表示闭式解。你之前尝试的分部积分思路其实也能走通，但最终还是会落脚到特殊函数上，这类积分的本质就是特殊函数的一种表现形式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user2025n