嗨，我来帮你梳理这个积分不等式的证明思路，你尝试用积分中值定理的方向其实没错，但可能需要调整策略——拆分积分区间是能直接导出求和项的关键方法，下面我一步步给你讲清楚：

核心思路：拆分区间+放缩 #

我们的目标是证明：
$$\int_{0}^{\pi}\bigg|\frac{\sin(nx)}{x}\bigg|,dx\geq\frac{2}{\pi}(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n})$$

首先，把积分区间 $[0,\pi]$ 拆分成 $n$ 个等长的子区间：
$$\left[0,\frac{\pi}{n}\right],\left[\frac{\pi}{n},\frac{2\pi}{n}\right],\dots,\left[\frac{(n-1)\pi}{n},\pi\right]$$

对每个子区间 $\left[\frac{k\pi}{n},\frac{(k+1)\pi}{n}\right]$（其中 $k=0,1,\dots,n-1$），我们做两件事：

1. 放缩分母：在这个区间里，$x\leq\frac{(k+1)\pi}{n}$，因此 $\frac{1}{x}\geq\frac{n}{(k+1)\pi}$
2. 计算分子的积分：令 $u=nx$，则 $du=ndx$，当 $x$ 从 $\frac{k\pi}{n}$ 到 $\frac{(k+1)\pi}{n}$ 时，$u$ 从 $k\pi$ 到 $(k+1)\pi$。此时：
   $$\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}}|\sin(nx)|dx = \frac{1}{n}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin u|du$$
   而 $|\sin u|$ 在每个长度为 $\pi$ 的区间上的积分都是 $2$（因为 $\int_{0}^{\pi}\sin u du=2$，周期性复制后结果不变），所以这个积分等于 $\frac{2}{n}$。

合并结果 #

把每个子区间的积分放缩后加起来：
$$\int_{0}^{\pi}\bigg|\frac{\sin(nx)}{x}\bigg|dx = \sum_{k=0}^{{n-1}\int_{\frac{k\pi}{n}}}{\frac{(k+1)\pi}{n}}\bigg|\frac{\sin(nx)}{x}\bigg|dx$$
$$\geq \sum_{k=0}^{n-1}\frac{n}{(k+1)\pi}\cdot\frac{2}{n} = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{2}{(k+1)\pi}$$
把求和下标替换一下，就得到：
$$\geq \frac{2}{\pi}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)$$

关于你用积分中值定理的尝试 #

你之前选了固定的 $c=\frac{\pi}{2}$，这只能得到一个常数项，没法导出求和。但如果在每个子区间单独用中值定理，其实也能推导：在第 $k$ 个子区间里，存在 $c_k\in\left(\frac{k\pi}{n},\frac{(k+1)\pi}{n}\right)$，使得
$$\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}}\bigg|\frac{\sin(nx)}{x}\bigg|dx = \frac{|\sin(nc_k)|}{c_k}\cdot\frac{\pi}{n}$$
因为 $nc_k\in(k\pi,(k+1)\pi)$，所以 $|\sin(nc_k)|=|\sin(u_k)|$（$u_k\in(k\pi,(k+1)\pi)$），而 $c_k\leq\frac{(k+1)\pi}{n}$，所以 $\frac{1}{c_k}\geq\frac{n}{(k+1)\pi}$，同时 $|\sin(u_k)|\geq0$，不过这里放缩的力度和之前的方法一致，最终也能得到相同的结论。

另一种变量替换的思路 #

你也可以直接做变量替换 $t=nx$，则 $dx=\frac{dt}{n}$，原积分变为：
$$\int_{0}^{n\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt$$
然后把这个积分拆成 $n$ 个区间 $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt$（$k=0,1,\dots,n-1$），每个区间里 $t\leq(k+1)\pi$，所以 $\frac{1}{t}\geq\frac{1}{(k+1)\pi}$，同样能得到每个区间积分 $\geq\frac{2}{(k+1)\pi}$，求和后就是目标不等式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sillyasker