常微分方程解的存在唯一性定理：两种证明方法对比及相关技术疑问

阿华AIGC实验室

2026-4-21

最近我一直在研究常微分方程（ODE）的存在唯一性定理。像很多优美的数学定理一样，它有好几种证明思路。今天我想聚焦其中两种初等证明，做个简单对比。

定理陈述（非自治向量场情形）

定理：设$E$为赋范空间（$\mathbb{R}^n$即可满足需求），$U\subset E$是开集，$I\subset \mathbb{R}$是开区间。若向量场$X\colon U\times I\to E$连续，且在第二个变量上满足局部一致利普希茨条件，取$x_0\in U$，$t_0\in I$（注：原内容此处笔误，应为$t_0\in I$），则存在$x_0$的开邻域球$B\subset U$，$t_0$的开邻域区间$J = \left]t_0-\alpha,t_0+\alpha\right[\subset I$，以及唯一的积分曲线$x\colon J\to U$满足：
$x(t_0) = x_0$；
对所有$t\in J$，$x(t)\in B$；
$x$是$X$的积分曲线（即满足$\dot{x}(t)=X(x(t),t)$）。

两种证明的共同基础

两种证明都从一个共同的观察出发：存在以$x_0$为中心的开球$B(x_0,\epsilon)\subset U$，以及以$t_0$为中心的开区间$\left]t_0 - \delta,t_0 + \delta\right[\subset I$，使得在这个区域内$\lVert X(x,t) \rVert\leqq M$（其中$M>0$是常数），这个结论很容易证明。

另外，我们用$K_0$表示$X$在$(x_0,t_0)$附近的局部利普希茨常数。

证明一：构造迭代序列并证明收敛

我们选取$\alpha$满足$\alpha < \epsilon/M$且$\alpha < \delta$，然后递归定义序列$x_n\colon J = \left]t_0 - \alpha,t_0 + \alpha\right[\to U$（$n\in \mathbb{N}$）：
$$
x_0(t) = x_0\text{,}\qquad x_{n + 1}(t) = x_0 + \int_{t_0}^t X(x_n(\zeta),\zeta),\mathrm d\zeta\text{.}
$$

通过归纳法可以证明：对所有$n$，$x_n(t)\in B(x_0,\epsilon)$，并且满足估计式：
$$
\lVert x_n(t) - x_{n + 1}(t)\rVert\leqq \frac{MK^n}{(n + 1)!}\lvert t - t_0\rvert\text{,}
$$
由此可知序列${x_n}$是一致柯西序列，进而收敛到$X$的一条积分曲线。